Em coordenadas cartesianas, mostre que

v x ∂ ∂ x + v y ∂ ∂ y + v z ∂ ∂ z

pode ser escrita como (v · ∇). Qual é o significado físico do termo (v · ∇)?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Em coordenadas cartesianas, temos:

v → = v x e x → + v y e y → + v z e z →

∇ → = e x → ∂ ∂ x + e y → ∂ ∂ y + e z → ∂ ∂ z

Fazendo o produto vetorial de v → e ∇ → :

v → ⋅ ∇ → = v x ∂ ∂ x e x → ⋅ e x → + v y ∂ ∂ y e y → ⋅ e y → + v z ∂ ∂ z e z → ⋅ e z →

A gente sabe que:

e → i ⋅ e j → = 1     j = i e → i ⋅ e j → = 0     j ≠ i

Passo 2

Então, o produto vetorial na forma cartesiana é

v → ⋅ ∇ → = v x ∂ ∂ x + v y ∂ ∂ y + v z ∂ ∂ z

O significado físico de v ⋅ ∇ pode ser interpretado como a quantidade de v na direção de em qualquer função associada com .

Um caso particular é quando é associado com a mesma função f , e v ⋅ ∇ f = 0 , que significa que f não muda se você mover na direção de v .

Resposta

Demonstração nos passos.