Em coordenadas polares, a equação da continuidade para os escoamentos incompressível e estacionário se torna

1 r ∂ ∂ r r v r + 1 r ∂ v θ ∂ θ = 0

Deduza as equações (10-10), usando essa relação.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

A equação de continuidade em coordenadas polares para escoamento incompressível em regime permanente é dada como

∇ ⋅ v → = 1 r ∂ ∂ r r v r + 1 r ∂ v θ ∂ θ = 0 … …  (1) 

Considerar

r v r = ∂ ψ ∂ θ … …  (2) 

Aqui, reduza as 2 incógnitas r e v r para 1 incógnita ψ , que é uma função de r e θ . Assim, a relação pode ser dada como

r v r = ∂ ψ r , θ ∂ θ

Da equação (1), obtenha a velocidade v θ na direção angular como

∇ ⋅ v → = 1 r ∂ ∂ r ∂ ψ ∂ θ + 1 r ∂ v θ ∂ θ = 0

∂ ∂ r ∂ ψ ∂ θ + ∂ v θ ∂ θ = 0

∂ ∂ θ ∂ ψ ∂ r + v θ = 0

∂ ψ ∂ r + v θ = 0

v θ = - ∂ ψ ∂ r

Passo 2

Assim, da equação (2), a velocidade v r na direção radial é obtida como

r v r = ∂ ψ ∂ θ

v r = 1 r ∂ ψ ∂ θ

Resposta

v θ = - ∂ ψ ∂ r

v r = 1 r ∂ ψ ∂ θ