Em coordenadas polares, mostre que

grad xx v = (1)/(r) [(del (r v_theta))/(del r) - (del v_r)/(del theta)] e_z

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

A relação dada é,

grad xx v = (1)/(r) [(del (r v_theta))/(del r) - (del v_r)/(del theta)] e_z

Aqui v é a velocidade e r é o raio do sistema.

A relação em termos de coordenadas polares é,

grad = vec e_r (del)/(del r) + vec e_theta (1)/(r) (del)/(del theta)

E é dado que,

vec v = v_r vec e_r + v_theta vec e_theta

Aplique a multiplicação cruzada em ambos os vetores mencionados acima:

grad xx vec v = (vec e_r (del)/(del r) + vec e_theta (1)/(r) (del)/(del theta)) xx (v_r vec e_r + v_theta vec e_theta)

= (vec e_r xx vec e_r) (del v_r)/(del r) + v_r vec e_r xx (del vec e_r)/(del r) + (vec e_r xx vec e_theta) (del v_theta)/(del r) + v_theta vec e_r xx (del vec e_theta)/(del r) + (vec e_theta xx vec e_r) (1)/(r) (del v_r)/(del theta) + (v_r)/(r) vec e_theta xx (del vec e_r)/(del theta)

+ (vec e_theta xx vec e_theta) (1)/(r) (del v_theta)/(del theta) + (v_theta)/(r) vec e_theta xx (del vec e_theta)/(del theta)

Passo 2

Considere as seguintes relações:

vec e_r xx vec e_r = 0

vec e_r xx vec e_theta = vec e_z

vec e_theta xx vec e_r = - vec e_z

vec e_theta xx vec e_theta = 0

Calcule a derivada das relações dadas,

(del vec e_r)/(del r) = 0

(del vec e_theta)/(del theta) = 0

(del vec e_r)/(del theta) = vec e_theta

(del vec e_theta)/(del r) = - vec e_r

Passo 3

Substitua 0 por (del vec e_r)/(del r) , 0 por (del vec e_theta)/(del theta) , vec e_theta p a r a (del vec e_r)/(del theta) e (del vec e_r)/(del theta) para (del vec e_theta)/(del r) coloque os valores acima na equação principal (1):

grad xx vec v = 0 + 0 + vec e_z (del v_theta)/(del r) + v_theta vec e_r xx (- vec e_r) - vec e_z (1)/(r) (del v_r)/(del theta) + (v_r)/(r) vec e_theta xx vec e_theta + 0 + 0

= vec e_z ((del v_theta)/(del r) - (1)/(r) (del v_r)/(del theta)) - v_theta vec e_r xx vec e_r + (v_r)/(r) vec e_theta xx vec e_theta

= ((del v_theta)/(del r) - (1)/(r) (del v_r)/(del theta)) vec e_z

grad xx vec v = (1)/(r) ((r del v_theta)/(del r) - (del v_r)/(del theta)) vec e_z

Daí a relação grad xx vec v = (1)/(r) ((r del v_theta)/(del r) - (del v_r)/(del theta)) vec e_z está provada.

Resposta

Prova nos passos.