Deduza a expressão para a distribuição de velocidades e para a queda de pressão para um fluido newtoniano em escoamento laminar completamente estabelecido no espaço anular entre dois tubos concêntricos horizontais. Aplique o teorema do momento para uma casca anular de fluido de espessura Δr e mostre que a análise de tal volume de controle conduz a

d / d r r τ = r Δ P / L

As expressões desejadas podem ser então obtidas pela substituição da lei de Newton da viscosidade e duas integrações.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Desenhando o controle de volume do cilindro tendo um raio interno r , espessura Δ r e comprimento Δ x :

Passo 2

Usando a expressão para o volume de controle para um momento linear na direção x para derivar o resultado:

∑ F x = ∬ c.s.  ρ v x v ⋅ n d A + ∂ ∂ t ∭ c.v.  ρ v x d V … …  (1) 

A força total ∑ F x no elemento é dada por:

∑ F x = P 2 π r Δ r x - P 2 π r Δ r x + Δ x + τ r x 2 π r Δ x r + Δ r - τ r x 2 π r Δ x r

Aqui, P representa a pressão e τ r x representa a tensão de cisalhamento no fluido.

Para um escoamento permanente e totalmente desenvolvido:

∬ c.s.  ρ v x v ⋅ n d A = 0

E

∂ ∂ t ∭ c.v.  ρ v x d V = 0

Passo 3

Substituindo:

∬ c.s.  ρ v x v ⋅ n d A = ∂ ∂ t ∭ c.v.  ρ v x d V = 0

E o valor de ∑ F x na Equação (1):

P 2 π r Δ r x - P 2 π r Δ r x + Δ x + τ r x 2 π r Δ x r + Δ r - τ r x 2 π r Δ x r =

= 0 + P 2 π r Δ r x + Δ x - P 2 π r Δ r x + τ r x 2 π r Δ x r + Δ r - τ r x 2 π r Δ x r = 0

Dividindo ambos os lados da equação por 2 π Δ r Δ x :

- r P x + Δ x - P x Δ x + r τ r x r + Δ r - r τ r x r Δ r = 0

Como o volume de controle se aproxima de um tamanho diferencial, Δ x e Δ r se aproximam de zero, a equação se torna:

- r d P d x + d r τ r x d r = 0

→ d r τ r x d r = r d P d x

Passo 4

Rearranjando a última equação do Passo 3:

d r τ r x d r d x = r d P

Integrando a equação acima e inserindo os limites de 0 a L para x e P 1 à P 2 para P

∫ 0 L d r τ r s d r d x = ∫ P 1 P 2 r d P

→ d r τ r s d r L = r P 2 - P 1

→ d r τ r x d r = r Δ P L

Passo 5

Para determinar a distribuição de velocidade, integramos a equação do Passo 4

r τ r x = Δ P L r 2 2 + C 1

→ τ r x = Δ P L r 2 + C 1 r

Aqui, C 1 é uma constante de integração.

Passo 6

Para um escoamento laminar em fluido newtoniano, a tensão de cisalhamento é dada por

τ r x = μ d v x d r

Aqui, temos:

1. viscosidade do fluido, μ

2. velocidade do fluido na direção x , v x

3. distância do centro do tubo, r

Substituindo τ r x :

μ d v x d r = Δ P L r 2 + C 1 r

→ d v x = Δ P 2 μ L r d r + C 1 μ 1 r d r

Integrando a equação acima para obter a expressão de v x

v x = Δ P 2 μ L r 2 2 + C 1 μ ln ⁡ r + C 2

→ v x = Δ P 4 μ L r 2 + C 1 μ ln ⁡ r + C 2

Aqui, C 2 é a constante de integração.

Passo 7

Agora considerando um fluido de casca anelar de espessura D R onde D < 1

O raio exterior da casca é R e o raio interno da casca é r

Aplicando as condições de fronteira para determinar os valores de constantes C 1 e C 2 :

Em r = R , a velocidade é zero, que é, V x R = 0

Substituindo v x = 0 e r = R :

0 = Δ P 4 μ L R 2 + C 1 μ ln ⁡ R + C 2

Em r = D R , velocidade é zero, v x D R = 0

0 = Δ P 4 μ L D R 2 + C 1 μ ln ⁡ D R + C 2

Resolvendo as equações obtidas para C 1 e C 2

C 1 = - Δ P 4 L R 2 1 - D 2 ln ⁡ 1 D

C 2 = - Δ P 4 μ L R 2 1 - 1 - D 2 ln ⁡ R ln ⁡ 1 D

Passo 8

Substituindo os valores de C 1 e C 2 para obter uma distribuição de velocidade para a casca:

v x = Δ P 4 μ L r 2 - Δ P 4 μ L R 2 1 - D 2 ln ⁡ 1 D ln ⁡ r - Δ P 4 μ L R 2 1 - 1 - D 2 ln ⁡ R ln ⁡ 1 D

→ v x = Δ P 4 μ L R 2 r 2 R 2 - 1 - D 2 ln ⁡ 1 D ln ⁡ r - 1 - 1 - D 2 ln ⁡ R ln ⁡ 1 D

∴ v x = - Δ P R 2 4 μ L 1 - r 2 R 2 - 1 - D 2 ln ⁡ R r ln ⁡ 1 D

Resposta

v x = - Δ P R 2 4 μ L 1 - r 2 R 2 - 1 - D 2 ln ⁡ R r ln ⁡ 1 D