Enunciado

D r y   a d i a b a t i c   l a p s e   r a t e   ( D A L R ) é definido como o valor negativo do gradiente de temperatura atmosférica, d T / d z , quando a temperatura e a pressão variam de forma isentrópica. Admitindo que o ar é um gás ideal, D A L R = -   d T / d z , quando T = T 0 p p 0 a , em que o expoente a = ( k – 1 ) / k   , k = c p / c v é a razão dos calores específicos e T 0 e p 0 são a temperatura e a pressão ao nível do mar, respectivamente. (a) Admitindo que condições hidrostáticas existam na atmosfera, mostre que D A L R é constante e dada por D A L R = g k - 1 k R , em que R é a constante do gás ideal para o ar. (b) Calcule o valor numérico de D A L R para o ar em unidades de ° C / k m .

Passo 1

E aí, tudo bem? Bora resolver essa comigo!

Vamos começar escrevendo T ( p ) , na forma que é apresentada na questão e diferenciar.

T = T 0 p p 0 a

d T d z = a ⋅ T 0 ⋅ p p 0 a - 1 ⋅ 1 p 0 ⋅ d p d z

Mas para as condições hidrostáticas:

d p d z = - ρ g

Vamos lembrar que para o gás ideal ρ = p R T , então vamos reescrever a equação acima:

d T d z = - a ⋅ T 0 ⋅ p p 0 a - 1 ⋅ 1 p 0 ⋅ p g R T

Organizando tudo, vai ficar assim:

d T d z = - a g R ⋅ T 0 T p p 0 a - 1 ⋅ p p 0

d T d z = - a g R ⋅ T 0 T p p 0 a

Agora temos que lembrar outro macete para facilitar nossa questão, para processos isentrópicos:

T 0 T p p 0 a = 1

d T d z = - a g R

Pra matar essa parte, vamos lembrar que:

a = k – 1 k

Assim:

d T d z = - k – 1 g k R

Passo 2

b)

Agora só precisamos substituir valores na formula que encontramos, então para as condições do ar independente da temperatura e da pressão atuais:

D A L R = k – 1 g k R

D A L R = 1,4 – 1 9,81 m s 2 1,4 ⋅ 287 m 2 s 2 ⋅ ° C ≈ 0,00977   ° C m

D A L R ≈ 9,77 ° C k m

Isso é tudo pessoal, conseguimos mais uma! \o/

Resposta

a)

d T d z = - k – 1 g k R

b)

D A L R ≈ 9,77 ° C k m

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