Enunciado

Desprezando a resistência do ar, que velocidade atinge um foguete 5   s após o seu lançamento vertical a partir do repouso, se a sua massa inicial é de 350   k g , a taxa de queima é de 10   k g / s e os gases são expelidos à pressão atmosférica com velocidade de 2500   m / s em relação ao foguete? Qual seria a velocidade máxima? Trace um gráfico da velocidade do foguete em função do tempo para os primeiros minutos de voo.

Passo 1

Considerações Iniciais:

  1. Escoamento em estado estacionário;
  2. Escoamento incompressível;
  3. Escoamento com velocidade constante;
  4. Escoamento uniforme.
  5. Força de resistência desprezível.

Passo 2

Pelas considerações feitas no passo 1, utilizaremos a seguinte equação da quantidade de movimento:

F = F S + F B - ∫ V C a r ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C V ρ   d ∀ + ∫ S C V ( ρ V ) d A = 0

Como estamos analisando um sistema y , temos:

F S y + F B y - ∫ V C a r y ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C v ρ   d ∀ + ∫ S C v ( ρ V ) d A

Não há resistência, então, F S y = 0 :

F B y - ∫ V C a r y ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C v ρ   d ∀ + ∫ S C v ( ρ V ) d A

Não temos a variação das propriedades com o tempo, então:

∂ ∂ t = 0

Assim:

F B y - ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∫ S C v ( ρ V ) d A

Então:

- m g - a r y ⋅ m = - v e ⋅ m ˙

a r y = v e ⋅ m ˙ m - g

Passo 3

Como a r y = d u d t e m = m 0 - m ˙ t :

d u d t =   v e ⋅ m ˙ m - g = v e ⋅ m ˙ m 0 - m ˙ t - g

Assim:

d u = v e ⋅ m ˙ m 0 - m ˙ t - g   d t

∫ 0 u d u = v e ⋅ m ˙ ∫ 0 t 1 m 0 - m ˙ t - g d t

Integrando:

u = v e ⋅ ln ⁡ m 0 m 0 - m ˙ t - g t

Passo 4

Calculando a velocidade do foguete 5   s após o lançamento.

g = 9,8   m / s 2   ;

v e = 2500   m / s ;

m 0 = 350   k g ;

m ˙ = 10   k g / s .

Então:

u = 2500 ⋅ ln ⁡ 350 350 - 10 ⋅ 5 - 9,8 ⋅ 5 = 336 , 4   m / s  

Passo 5

Traçando o gráfico da velocidade do foguete em função do tempo.

Resposta

u = 336,4   m / s

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