Determine as funções corrente e potencial para o campo de escoamento bidimensional se V 0 e θ forem conhecidos.

Passo 1

Pessoal, consideramos o fluido ideal e estacionário. As componentes da velocidade são:

u = V 0 cos ⁡ θ 0

v = V 0 sin ⁡ θ 0

Como a equação da continuidade é satisfeita, isto é,

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0 + 0 = 0

Nós podemos determinar uma função de fluxo pelas componentes da velocidade

∂ φ ∂ y = u

∂ φ ∂ y = V 0 cos ⁡ θ 0

Integrando esta equação em relação a y , temos

φ = V 0 cos ⁡ θ 0 y + f ( x )

Passo 2

Agora em relação a x nós temos:

- ∂ φ ∂ x = v

Substituindo φ ,

- ∂ ∂ x V 0 cos ⁡ θ 0 y + f x = V 0 sin ⁡ θ 0

∂ ∂ x f x = - V 0 sin ⁡ θ 0

Integrando esta equação em relação a x , temos

f x = - V 0 sin ⁡ θ 0 + C

Nós podemos assumir que C = 0 e substituir esses resultados na função corrente:

φ = V 0 cos ⁡ θ 0 y - V 0 sin ⁡ θ 0 x

φ = V 0 cos ⁡ θ 0 y - sin ⁡ θ 0 x

Passo 3

Para a função potencial, verificamos sua existência fazendo:

ω z = 1 2 ∂ v ∂ x - ∂ u ∂ y = 1 2 0 - 0 = 0

Isso significa que o fluido é irrotacional, então a função potencial existe. Usando as componentes das velocidades temos:

∂ ϕ ∂ x = u

∂ ϕ ∂ x = V 0 cos ⁡ θ 0

Integrando essa equação em relação a x :

ϕ = V 0 cos ⁡ θ 0 x + f ( y )

Além disso,

∂ ϕ ∂ y = v

∂ ∂ y V 0 cos ⁡ θ 0 x + f ( y ) = V 0 sin ⁡ θ 0

∂ ∂ y f y = V 0 sin ⁡ θ 0

Integrando essa equação em relação a y :

f y = V 0 sin ⁡ θ 0 y + C

Assumindo C = 0 e substituindo esses resultados na equação da função potencial, temos

ϕ = V 0 cos ⁡ θ 0 x + V 0 sin ⁡ θ 0 y

ϕ = V 0 cos ⁡ θ 0 x + sin ⁡ θ 0 y

Resposta

φ = V 0 cos ⁡ θ 0 y - sin ⁡ θ 0 x

ϕ = V 0 cos ⁡ θ 0 x + sin ⁡ θ 0 y