a.Determine a magnitude das componentes x e y da força exercida, sobre a pá fixa mostrada, por um jato de 3 ft3/s de água que escoa a 25 ft/s.

b.Se a pá estiver se movendo para a direita a 15 ft/s, encontre a magnitude e a velocidade do jato de água que sai da pá.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

a) escrevendo a taxa de vazão mássica do jato de água

m ˙ = ρ V ˙

Aqui, temos:

1. densidade da água, ρ = 62,4   l b m / f t 3

2. descarga do jato, v ˙ = 3   f t 3 / s

Substituindo os valores

m ˙ = 62,4   l b m / f t 3 3   f t 3 / s

∴ m ˙ = 187,23   l b m / s

Escrevendo a equação de momento na direção x

∑ F x = ∬ c , s v x ρ v → ⋅ n → d A

Aqui, temos a superfície de controle c,s

1. componente de força exercida pela pá, F x

2. componente de velocidade x , v x

3. vetor velocidade, v

4. vetor normal, n

5. área, A

Passo 2

Escrevendo a fórmula para o componente de força F x exercida na pá na água

F x = m ˙ v 2 x - v 1 x

Aqui, temos

1. componente de velocidade na saída do eixo x , v 2 x

2. componente de velocidade na entrada do eixo x , v 1 x

O vetor de velocidade na entrada ( V 1 x ) é:

v 1 x = - 25 e x   f p s

Aqui, temos que o vetor unitário na direção x é e x

O vetor de velocidade na saída é ( V 2 x ) é:

v 2 x = 25 cos ⁡ 30 ° e x - sin ⁡ 30 ° e y f p s = 25 3 2 e x - 1 2 e y f p s

Aqui, temos que o vetor unitário na direção y é e y

Substituindo m ˙ = 187,23   l b m / s , v 1 x = - 25   f t / s e v 2 x = 25 3 2

F x = 187,23   l b m / s 1   l b f 32,17   l b m ⋅ f t / s 2 25 ⋅ 3 2 - - 25 f t / s

∴ F x = 271,46   l b f

Passo 3

Escrevendo a equação de momento em y

∑ F y = ∬ c , s v y ρ v → ⋅ n → d A

Aqui, a componente y da força exercida é F y

Escrevendo a fórmula para o componente x da força F x exercida pela placa na água

F y = m ˙ v 2 y - v 1 y

Substituindo os valores:

F y = 187,23   l b m / s 1   l b f 32,17   l b m ⋅ f t / s 2 25 ⋅ - 1 2 - 0 f t / s

∴ F y = - 72,75   l b f

Passo 4

b) a placa é movida para a direita a 15   f p s

Então, o vetor velocidade da placa é:

v b = 15 e e   f p s

Escrevendo o vetor velocidade do jato relativo à placa na entrada

v 1 j b = - 25 e x - 15 e x   f p s = - 40 e x   f p s

Escrevendo o vetor velocidade do jato relativo à placa na saída

v 2 j b = 40 cos ⁡ 30 ° e x - 40 sin ⁡ 30 ° e y   f p s = 34,64 e x - 20 e y f p s

Passo 5

Escrevendo a velocidade total na saída

v t o t = v j b + v b = v 2 j b + v b

Substituindo os valores

v t o t = 34,64 e x - 20 e y   f p s + 15 e x   f p s = 49,64 e x - 20 e y   f p s

Passo 6

Escrevendo a magnitude da velocidade total na saída

v t o t = v x + v y = 49,64 2 + 20 2

∴ v t o t = 53,52   f p s

Resposta

v t o t = 49,64 e x - 20 e y   f p s

v t o t = 53,52   f p s