Determine a quantidade de movimento linear de uma massa de fluido em uma extensão de 0,2   m de tubo se o perfil de velocidade para o fluido é uma paraboloide, como mostra a figura. Compare esse resultado com a quantidade de movimento linear do fluido usando a velocidade média do escoamento. Considere ρ = 800   k g / m 3 .

Passo 1

Pessoal, primeiro para entender melhor a questão vamos observar o elemento diferencial de casca que tem uma espessura d r e comprimento de 0,2   m .

Seu volume pode ser dado por d V = 2 π r d r 0,2   m = 0,4 π r d r . Assim, a massa desse elemento é d m = ρ d V = ( 800 k g / m 3 ) ( 0,4 π r d r ) = 320 π r d r . Então podemos calcular o momento linear do fluido:

L = ∫ m v   d m

= ∫ 0 0,1   m 4 1 - 100 r 2 ( 320 π r d r )

= 1280 π ∫ 0 0,1   m r - 100 r 3 d r

= 1280 π r 2 2 - 25 r 4 0 0,1   m

= 10,05   k g ∙ m / s = 10,1   k g ∙ m / s

Passo 2

Para comparar esse resultado com a quantidade de movimento linear do fluido usando a velocidade média, vamos olhar novamente para o elemento diferencial, que tem área d A = 2 π r d r . Então,

V m é d = ∫ v d A A

= ∫ 0 0,1   m 4 ( 1 - 100 r 2 ) ( 2 π r d r ) π 0,1   m 2

= 8 π ∫ 0 0,1   m ( r - 100 r 3 ) d r π 0,1   m 2

= 8 π r 2 2 - 25 r 4 0 0,1   m π 0,1   m 2

= 2   m / s

Sabemos que a massa do fluido é m = ρ V = ( 800   k g / m 3 ) [ π 0,1   m 2 ]   ( 0,2   m ) = 1,6 π   k g . Então,

L = m V m é d = ρ V V m é d = ( 1,6 π   k g ) ( 2   m / s )

= 10,05   k g ∙ m / s   = 10,1   k g ∙ m / s

Que é a mesma resposta que nós encontramos no passo 1.

Resposta

10,1   k g ∙ m / s