Determine a rotação do fluido em um ponto em coordenadas polares, usando o método ilustrado na Figura 10.1.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

A rotação do fluido em um ponto, com as coordenadas polares podemos derivar assim:

O elemento de fluido vai mover no plano x y em um tempo Δ t . O elemento pode deformar e rotacionar enquanto está rolando a translação. A orientação pode ser expressa pela média de rotação do segmento de reta O B e O A ou pode ser determinada pela rotação assim:

w z = d d t α + β 2

Aqui, a rotação média do elemento é w z , o ângulo de rotação de O A é α e o ângulo de rotação de O B é β .

w z = lim Δ → 0 ⁡ 1 2 tan - 1 ⁡ r v θ r + Δ r - r v θ r Δ t r Δ r Δ t + tan - 1 ⁡ v r θ + Δ θ - v r θ Δ t r Δ θ Δ t

Aplique o limite tan - 1 ⁡ θ → θ para obter a rotação média no eixo z .

w z = lim Δ r , Δθ , Δ → 0 ⁡ r v θ r + Δ v - r v θ r r Δ r - v r θ + Δ θ - v r θ r Δ θ

= 1 r ∂ ∂ r r v θ - 1 r ∂ v r ∂ θ

= ∂ v θ ∂ r + 1 r v θ - ∂ v r ∂ θ

Assim, a rotação do fluido em um ponto em coordenadas polares é obtida como ∂ v θ ∂ r + 1 r v θ - ∂ v r ∂ θ

Resposta

∂ v θ ∂ r + 1 r v θ - ∂ v r ∂ θ