Enunciado

Determine a seção transversal da eficiência hidráulica ótima para um canal trapezoidal com inclinação lateral de 1 na vertical para 2 na horizontal se a descarga de projeto for 250 m³/s. A inclinação do canal é 0,001 e o fator de rugosidade de Manning é 0,020.

Passo 1

Beleza! Sabemos que a equação da descarga para o sistema é dada por:

Q = 1 n A R h 2 3 S b 1 2

Então precisamos escrever a equação da descarga em função de y , Com o auxílio da tabela de geometria fornecida nessa seção, temos:

A = y ( b + y c o t g   α )

R h = y b + y c o t g   α b + 2 y s e n   α

P = b + 2 y s e n   α

Passo 2

Tá legal! Aqui vamos isolar b da equação da área e substituir na do perímetro molhado, então, temos:

A = y b + y c o t g   α → b = A y - y c o t g   α

Então, substituindo na do perímetro molhado:

P = A y - y c o t g   α + 2 y s e n   α

Agora, para obtermos a seção transversal da eficiência hidráulica ótima, vamos derivar a expressão anterior em relação à y e depois igualar o resultado a zero para maximizar a eficiência em função de y . Então, temos:

∂ P ∂ y = 1 y . ∂ A ∂ y - A y 2 - c o t g   α + 2 s e n   α

Para as condições ótimas então, devemos ter:

∂ P ∂ y = 0 ; ∂ A ∂ y = 0

Então, substituindo esses valores na equação anterior, temos:

0 = - A y 2 - c o t g   α + 2 s e n   α → A = - y 2 c o t g   α + 2 y 2 s e n   α

Passo 3

Agora vamos comparar a equação obtida para a área no passo 2 com aquela fornecida na tabela do passo 1, então, temos:

y b + y c o t g   α = - y 2 c o t g   α + 2 y 2 s e n   α

y b + y 2 c o t g   α = - y 2 c o t g   α + 2 y 2 s e n   α

E, isolando a largura inferior do canal, temos:

b = 2 y s e n   α - 2 y c o t g   α

Agora, vamos substituir esse valor na expressão para o raio hidráulico do passo 1, então, temos:

R h = y b + y c o t g   α b + 2 y s e n   α = y 2 y s e n   α - 2 y c o t g   α + y c o t g   α 2 y s e n   α - 2 y c o t g   α + 2 y s e n   α

R h = y 2 y s e n   α - y c o t g   α 4 y s e n   α - 2 y c o t g   α = y 2 y s e n   α - y c o t g   α 2 2 y s e n   α - y c o t g   α

Como temos o mesmo termo dentro do parênteses no numerador e no denominador, então, podemos simplificar esse termo, ficando com:

R h = y 2

Agora, antes de substituir os valores encontrados na expressão para a descarga, precisamos do valor de α , que foi dado no enunciado, então, temos que:

α = t g - 1 1 2 → α = 26,56 °

E, os valores do coeficiente de rugosidade de Manning e da inclinação do fundo do canal foram dados no enunciado, de modo que:

n = 0,020

S b = 0,001

Passo 4

Então, substituindo as expressões e valores encontrados na equação de descarga, temos:

Q = 1 n A R h 2 3 S b 1 2 → 250 = 1 0,02 - y 2 c o t g   α + 2 y 2 s e n   α y 2 2 3 0,001 1 2

158,11 = - y 2 c o t g   α + 2 y 2 s e n   α y 2 2 3

Para resolver essa equação, precisamos do auxílio de uma calculadora, que nos dá:

y = 5,65   m

E, com esse valor, podemos retornar à equação encontrada no passo 3 para a largura do fundo do canal:

b = 2 y s e n   α - 2 y c o t g   α

E, substituir os valores conhecidos:

b = 2 5,65 s e n   26,56 ° - 2 5,65 c o t g   26,56 ° → b = 2,67   m

Resposta

y = 5,65   m

b = 2,67   m

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