Enunciado

Dois tanques com água a 20°C são conectados por um tubo capilar de 4 mm de diâmetro e 3,5 m de comprimento. A superfície do tanque 1 está 30 cm acima da superfície do tanque 2. (a) Estime a vazão em m³/h. O escoamento é laminar? (b) Para que diâmetro de tubo R e d será igual a 500?

Passo 1

E aí, gente!! Tudo bem? Então vou mostrar pra vocês que mecânica dos fluidos não é nem de longe um bicho de 7 cabeças (nem de perto também)!

Para água temos que ρ = 998   k g / m ³ e μ = 0,001   k g / ( m . s )

Vamos olhar para nosso problema físico?

Aplicando nossa equação da energia, teremos que:

p 1 ρ g + V 1 2 2 g + z 1 = p 2 ρ g + V 2 2 2 g + z 2 + h f

Bem, se você olhar no nosso desenho, temos que o ponto 1 e 2 tem suas pressões iguais a atmosférica. Além disso, como é de costume, as velocidades em superfícies de tanques podem ser aproximadas para zero, ou seja, nossa equação se reduzirá em:

z 1 - z 2 = Δ z = h f

Passo 2

(a) Vamos assumir que nosso escoamento é laminar, beleza? Isso vai fazer com que a gente consiga escrever nossa perda de carga hf da seguinte maneira:

Δ z = 0,3 = h f = 128 μ L Q π ρ g d 4 = 128 0,001 3,5 Q π 998 9,81 0,004 4

Q = 5,3   x   10 - 6   m 3 s = 0,02 m 3 h

Mas não podemos simplesmente achar que já encontramos a vazão! A gente precisou assumir que o escoamento era laminar, então temos que comprovar isso.

R e = 4 ρ Q π d μ = 4 998 5,3   x   10 - 6 π 0,001 0,004 = 1675   ( L a m i n a r )

Show, então nossa hipótese estava correta e realmente a vazão é de 0,02 m³/h

Passo 3

(b) Se R e = 500

R e = 500 = 4 ρ Q π d μ

A gente aqui tem duas variáveis né? O valor do diâmetro e o valor da vazão, porque não sabemos qual é o valor de vazão que nos deu R e = 500 .

Então precisamos de mais uma equação independente para o fechamento de equações. E qual será essa equação?

Δ z = h f = 128 μ Q L π ρ g d 4 = 0,3

Resolvendo essas duas equações teremos que:

R e = 500 = 4 998 Q π 0,001 d → Q = 0,000394 d

Δ z = 0,3 = 128 0,001 3,5 Q π 998 9,81 d 4 → Q = 20600 d 4

Resolvendo essas duas equações a gente obtém que Q = 1,05   x   10 - 6   m 3 / s e que o diâmetro será de 2,67 mm

Resposta

  1. Q = 0,02 m 3 h   e   e s c o a m e n t o   l a m i n a r
  2. d = 2,67   m m  
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