Enunciado

Um duto liso de área constante ( D = 150   m m ) deve ser alimentado por um bocal convergente-divergente, a partir de um tanque contendo ar a 295   K e 1,0   M P a   ( a b s ) . Uma operação livre de choque é desejada. O número de Mach na entrada do duto deve ser 2,1 e o número de Mach na saída deve ser 1,4. O conjunto todo será isolado termicamente. Determine (a) a pressão requerida na saída do duto, (b) o comprimento requerido do duto e (c) a variação na entropia específica. Mostre os pontos dos estados de estagnação e estáticos e a linha do processo em um diagrama T S .

Passo 1

Letra a)

Calculando T 1 :

T 0 T 1 = 1 + k - 1 2 M 1 2

Sendo:

k = 1,4 ;

M 1 = 2,1 ;

T 0 = 295   K .

Temos:

295 T 1 = 1 + 1,4 - 1 2 ⋅ 2,1 2

T 1 = 156,75   K

Calculando T 2 :

T 0 T 2 = 1 + k - 1 2 M 2 2

Sendo:

M 2 = 1,1 .

Temos:

295 T 2 = 1 + 1,4 - 1 2 ⋅ 1,4 2

T 2 = 211,92   K

Calculando V 1 e V 2 pelo número de Mach:

V = M k R T

Sendo:

R = 287   N ⋅ m / k g ⋅ K .

Temos:

V 1 = 2,1 ⋅ 1,4 ⋅ 287 ⋅ 156,75 = 527   m / s

V 2 = 1,4 ⋅ 1,4 ⋅ 287 ⋅ 211,92 = 408,53   m / s

Passo 2

Assumindo que possuímos um fluxo isentrópico no bocal:

p 0 p 1 = 1 + k - 1 2 M 1 2 k k - 1

Sendo:

p 1 = 1   M P a .

Temos:

1 p 1 = 1 + 1,4 - 1 2 ⋅ 2,1 2 1,4 1,4 - 1

p 1 = 0,109   M P a

Calculando a massa específica pela equação dos gases ideais:

ρ 1 = p 1 R T 1

Substituindo os valores:

ρ 1 = 0,109 x 10 6 287 ⋅ 156,75

ρ 1 = 2,43   k g / m 3

Como a vazão mássica permanece constante, pela continuidade, temos:

V 1 ρ 1 = V 2 ρ 2

ρ 2 = 527 408,53 ⋅ 2,43

ρ 2 = 3,13   k g / m 3

Calculando p 2 :

p 2 = ρ 2 R T 2

p 2 = 3,13 ⋅ 287 ⋅ 211,92

p 2 = 190,37   k P a

Passo 3

Letra b)

Com M 1 = 2,1 , na tabela de funções de fluxo de linha Fanno, temos:

f L m á x D = 0,33

Com M 2 = 1,4 :

f L m á x D = 0 , 1

Como:

f L D = f L m á x D M 1 - f L m á x D M 2

f L D = 0,33 - 0,1 = 0,23

Assim, sabemos que o fator de atrito é uma função do número de Reynolds em tubos lisos.

A viscosidade dinâmica pode ser calculada pela equação de Sutherland:

μ = b T 1 1 2 1 + S T 1

Sendo:

b = 1,458 x 10 - 6   k g / m ⋅ s ⋅ K 1 2 ;

S = 110,4 .

Temos:

μ = 1,458 x 10 - 6 ⋅ 156,75 1 2 1 + 110,4 156,75

μ = 6,75 x 10 - 6   N ⋅ s / m 2

Passo 4

Então o número de Reynolds se dá:

R e = ρ 1 V 1 D μ

Substituindo os dados:

R e = 2,43 ⋅ 527 ⋅ 0,15 6,75 x 10 - 6

R e = 2,84 x 10 7

Obtendo no Diagrama de Moody com Tubo Liso:

f = 0,007

Então:

0,007 L 0,15 = 0,23

L = 4,93   m

Passo 5

Letra c)

A variação na entropia específica se dá:

∆ S = c p ln ⁡ T 2 T 1 - R ln ⁡ p 2 p 1

Sendo:

c p = 1004   J / k g ⋅ K .

Temos:

∆ S = 1004 ⋅ ln ⁡ 211,92 156,75 - 287 ⋅ ln ⁡ 190,37 109

∆ S = 142,72   J / k g ⋅ K

Passo 6

Mostre os pontos dos estados de estagnação e estáticos e a linha do processo em um diagrama T S .

Resposta

p 2 = 190,37   k P a

L = 4,93   m

∆ S = 142,72   J / k g ⋅ K

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