Um elemento cilíndrico combustível nuclear tem 10,16 cm de comprimento e 10,77 cm de diâmetro. O combustível gera calor uniformemente a uma taxa de 51,7 × 103 kJ/s × m3 . O combustível é colocado em um ambiente com uma temperatura de 360 K e um coeficiente de transferência de calor de 4540 W/m2 · K. O material combustível tem k = 33,9 W/m · K. Para a solução descrita, calcule o seguinte, em estado estacionário: o perfil de temperaturas como função da posição radial a temperatura máxima do combustível a temperatura da superfície Efeitos de extremidade podem ser desprezados

Passo 1

Opa galerinha, beleza com vocês?! Então bora lá pra cima dessa questão! Da formula padrão para a velocidade tangencial de um cilindro, temos que:

V ω = D 2 ω

Para um valor de d pequeno, temos essa taxa de mudança na velocidade do fluido:

d V d r = D 2 ω d

E a tensão de cisalhamento entre os cilindros é dada por:

τ = μ d V d r = D ω 2 d  

A força de cisalhamento é:

F = τ ⋅ A r e a = τ π D l - h = π τ D 2 ω ( l - h ) 2 d

E por fim, o torque desenvolvido é:

M t 1 = F D 2

Passo 2

Agora que temos as formulas que vamos usar na questão, vamos por a mão na massa! Para um h pequeno, a taxa de mudança de velocidade do fluido em uma direção vertical é:

d V d y = r ω h

Tensão de cisalhamento para esse caso:

τ = μ   d V d y = μ r ω h

Força em uma área d A = d F = τ d A .

Passo 3

A partir disso, o torque entre as superfícies inferiores do cilindro é dada por:

M t 2 = ∫ ∫ d M t 2 ⋅ d A

Onde,

d M t 2 = d F ⋅ r = μ r 3 ω h d r d θ

Logo,

M t 2 = μ ω r ∫ r = 0 D / 2 ∫ θ = 0 2 π r 3 ⋅ d r ⋅ d θ = μ ω π D 4 64 h

Portanto, o torque final é dado por:

M T = M t 1 + M t 2 = π μ D 3 ω ( l - h ) 4 d + π μ D 3 64 h  

Passo 4

Expressando M t como c t v:

c t v = c t ω D 2

Temos uma constante de amortecimento:

c t = π μ D 2 ( l - h ) 2 d + π μ D 3 32 h

Resposta

c t = π μ D 2 ( l - h ) 2 d + π μ D 3 32 h