Enunciado

Um elemento de combustível ( k = 67 W / m . K ) que pode ser modelado como uma parede plana, tem espessura de 2   c m . O elemento de combustível gera 5 × 10 7   W / m ³ de calor uniformemente. Ambas as superfícies laterais do elemento de combustível são resfriadas por um líquido a uma temperatura de 9 0 ℃ , e o coeficiente de transferência de calor por convecção é de 5 000   W / m ² K . Use espaçamento nodal uniforme de 4   m m e faça uso da linha simétrica no centro da parede plana e determine (a) as equações de diferenças finitas e (b) temperaturas nodais, resolvendo as equações.

Passo 1

Primeiramente, iremos assumir algumas considerações para simplificar o problema. São elas:

  • Transferência de calor através do elemento de combustível nuclear é permanente e unidimensional.
  • Propriedades térmicas são constantes.
  • Transferência de calor por radiação é desprezível.

De posse dessas características, podemos entender melhor o sistema com o qual a questão pretende trabalhar.

(a) O espaçamento nodal é dado no valor de ∆ x = 4   m m , então, o número de nós M é:

M = L ∆ x + 1 = 2 0   m m 4   m m + 1 = 6

Temos 6 temperaturas nodais desconhecidas, portanto precisaremos de 6 equações para determinar cada uma delas. A equação de diferenças finitas para o nó 0 na superfície esquerda, na linha de simetria, é obtida pela aplicação do balanço de energia sobre o elemento de volume finito sobre o nó (é importante saber que a linha de simetria funciona como uma superfície isolada):

k T 1 - T 0 ∆ x + e ˙ 0 ∆ x 2 = 0 → T 1 - T 0 + e ˙ 0 ∆ x 2 2 k = 0

Os nós 1 ,   2 ,   3 e 4 são nós interiores, então podemos usar a relação geral de diferenças finitas, expressa como:

T m - 1 - 2 T m + T m + 1 ∆ x ² + e ˙ m k = 0 → T m - 1 - 2 T m + T m + 1 + e ˙ m k ∆ x 2 = 0

Assim como no nó 0 , o nó 5 é obtido pela aplicação do balanço de energia sobre o elemento de volume finito sobre o nó, com a diferença de que este nó está sujeito à convecção, logo:

h T ∞ - T 5 + k T 4 - T 5 ∆ x + e ˙ 5 ∆ x 2 = 0 → T 4 - 1 + h k ∆ x T 5 + e ˙ 5 ∆ x 2 2 k + h k ∆ x T ∞ = 0

Então:

0 : T 1 - T 0 + e ˙ 0 ∆ x 2 2 k = 0

1 : T 0 - 2 T 1 + T 2 + e ˙ 1 k ∆ x 2 = 0

2 : T 1 - 2 T 2 + T 3 + e ˙ 2 k ∆ x 2 = 0

3 : T 2 - 2 T 3 + T 4 + e ˙ 3 k ∆ x 2 = 0

4 : T 3 - 2 T 4 + T 5 + e ˙ 4 k ∆ x 2 = 0

5 : T 4 - 1 + h k ∆ x T 5 + e ˙ 5 ∆ x 2 2 k + h k ∆ x T ∞ = 0

Passo 2

(b) As temperaturas nodais em condições permanentes são determinadas pela solução das 6 equações acima simultaneamente, utilizando um software capaz de resolver equações. Utilizando o EES, os códigos necessários para a resolução das equações é:

e_gen=5E7 ]

h=5000

k=67

Dx=4E-3

T_inf=90

T_1-T_0+(Dx^2*e_gen)/(2*k)=0

T_0-2*T_1+T_2+(e_gen/k)*Dx^2=0

T_1-2*T_2+T_3+(e_gen/k)*Dx^2=0

T_2-2*T_3+T_4+(e_gen/k)*Dx^2=0

T_3-2*T_4+T_5+(e_gen/k)*Dx^2=0

T_4-(1+h*Dx/k)*T_5+(Dx^2*e_gen)/(2*k)+(h*Dx/k)*T_inf=0

E as respostas obtidas são:

T 0 = 439 ℃

T 1 = 433 ℃

T 2 = 415 ℃

T 3 = 386 ℃

T 4 = 344 ℃

T 5 = 290 ℃

Resposta

b T 0 = 439 ℃

T 1 = 433 ℃

T 2 = 415 ℃

T 3 = 38 6 ℃

T 4 = 344 ℃

T 5 = 290 ℃

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