Encontre Dv/Dt em coordenadas polares, tomando a derivada da velocidade. (Sugestão: v = υr(r, θ, t)er + υθ(r, θ, t)eθ. Lembre-se de que os vetores unitários têm derivadas.)

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Velocidade em coordenadas polares

v → = v r e r → + v θ e θ →

Diferencie a equação acima e resolva cada termo independentemente,

d v → = ∂ v → ∂ r d r + ∂ v → ∂ θ d θ + ∂ v → ∂ t d t

d v → d t = ∂ v → ∂ r d r d t + ∂ v → ∂ θ d θ d t + ∂ v → ∂ t

∂ v → ∂ r = ∂ v r ∂ r e r → + ∂ v → ∂ θ e θ + v r ∂ e r → ∂ r + v θ ∂ e θ → ∂ r

∂ v → ∂ θ = ∂ v r ∂ θ e r → + ∂ v → ∂ r e θ → + v r ∂ e r → ∂ θ + v θ ∂ e θ → ∂ θ

Passo 2

A derivada nas direções r e θ

e r → = e x → cos ⁡ θ + e y → sin ⁡ θ  e  e θ → = - e x → sin ⁡ θ + e y cos ⁡ θ →

Novamente na diferenciação dos dois termos, obtém-se o seguinte:

∂ e r → ∂ r = ∂ e r → ∂ θ ∂ θ ∂ r = e θ → ∂ θ ∂ r = 0

Da mesma forma, a derivada na direção θ pode ser obtida como

∂ e r ∂ θ = - e x → sin ⁡ θ + e y → cos ⁡ θ = e θ →

Passo 3

A derivada nas direções r e   θ

e r → = e x → cos ⁡ θ + e y → sin ⁡ θ e e θ → = - e x → sin ⁡ θ + e y → cos ⁡ θ

Novamente na diferenciação dos dois termos, obtém-se o seguinte:

∂ e r → ∂ r = ∂ e r → ∂ θ ∂ θ ∂ r = e θ → ∂ θ ∂ r = 0

Da mesma forma, a derivada na direção θ pode ser obtida como

∂ e r ∂ θ = - e x → sin ⁡ θ + e y → cos ⁡ θ = e θ →

Da equação acima pode-se concluir que

∂ e r ∂ r = 0  e  ∂ e r ∂ θ = e r →

Portanto, D v D t derivando a velocidade ( v ) em coordenadas polares pode ser expresso abaixo como

d v d t = ∂ v r ∂ r e r → + ∂ v θ ∂ θ e θ →

∂ v → ∂ θ = ∂ v r ∂ θ - v θ e r → + ∂ v θ ∂ θ + v θ e θ →

Relacionar com a relação

d v d t = D v D t d r d t   = v r

E outra relação pode ser dada como

d θ d t = ω = v θ r

Portanto, D v D t pela derivada da velocidade ( v ) em coordenadas polares são

D v → D t = ∂ v → ∂ t v r ∂ v r ∂ r + v θ r ∂ v r ∂ θ - v θ 2 r e r → + v r ∂ v θ ∂ r + v θ r ∂ v θ ∂ θ + v r v θ r e θ →

Resposta

D v → D t = ∂ v → ∂ t v r ∂ v r ∂ r + v θ r ∂ v r ∂ θ - v θ 2 r e r → + v r ∂ v θ ∂ r + v θ r ∂ v θ ∂ θ + v r v θ r e θ →