Encontre um perfil de velocidades para a camada-limite laminar da forma

v x v x δ = c 1 + c 2 y + c 3 y 2 + c 4 y 3

quando o gradiente de pressão não for zero.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

A camada limite laminar é representada como,

v x v s b = c 1 + c 2 y + c 3 y 2 + c 4 y 3 … … 1

Aqui, δ é a espessura da camada limite e x     &   y são as variáveis ​​independentes.

Para converter o perfil de velocidade acima em perfil de velocidade padrão para fluxo laminar.

Assuma o seguinte e substitua na equação (1).

c 1 = C 1

c 2 = C 2 δ

c 3 = C 3 δ 2  

c 4 = C 4 δ 3

Aqui, C 1 , C 2 , C 3   e   C 4 são constantes.

v x v s e = C 1 + C 2 y δ + C 3 y δ 2 + C 4 y δ 3 … … 2

Passo 2

Considere que o componente x da velocidade é v x e o componente y da velocidade é v y .

Aplique as seguintes condições de contorno:

Em y = 0 , v x = v y = 0 … … 3

Em y = δ , v x = v x s … … 4

Em y = δ , ∂ v x ∂ y δ = 0 … … 5

Aplique a condição de contorno (3) na equação (2),

0 v s δ = C 1 + C 2 × 0 + C 3 × 0 + C 4 × 0

C 1 = 0

Aplique a condição de contorno (4) na equação (2),

v s δ v s δ = 0 + C 2 δ δ + C 3 δ δ 2 + C 4 δ δ 3 … … 6

Diferencie a equação (2) em relação a x e aplique a condição de contorno (5).

∂ v x ∂ x = 0 + C 2 δ + 2 C 3 δ 2 + 3 C 4 δ 3 y 2

Substitua δ por y e 0 por ∂ v x ∂ x .

C 2 + 2 C 3 + 3 C 4 = 0 … … 7

Passo 3

Escreveu a expressão para a equação de Naiver-Stokes para escoamento sobre uma placa plana como segue:

ρ v x ∂ v x ∂ x + v y ∂ v x ∂ x = - ∂ P ∂ x + μ ∂ 2 v x ∂ y 2 … … 8

Aqui, ρ é a densidade do fluido, P é a pressão no ponto e μ é a viscosidade dinâmica.

Aplique a condição de contorno (3) na equação (8),

ρ 0 ∂ v x ∂ x + 0 ∂ v x ∂ x = - ∂ P ∂ x + μ ∂ 2 v x ∂ y 2 y = 0

- ∂ P ∂ x + μ ∂ 2 v x ∂ y 2 y - 0 = 0

μ ∂ 2 v x ∂ y 2 y = 0 = ∂ P ∂ x

Passo 4

Escreva a expressão para a equação de Bernoulli da seguinte forma:

P ρ + v s δ 2 2 =  constante 

Diferenciar em relação a x

d P d x = - ρ v s d v s d d x

Como existe apenas uma variável independente, escreva a equação acima da seguinte forma:

∂ P ∂ x = - ρ v s ∂ v s d ∂ x … 10

Das equações (9) e (10) ),

∂ 2 v x ∂ y 2 y = 0 = - ρ μ v x s d v x δ d x

∂ 2 v x ∂ y 2 y = 0 = - 1 μ / ρ v s s d v s δ d x

Substitua v por μ ρ  

∂ 2 v x ∂ y 2 y - 0 = - 1 v v x s d v s δ d x … … 11

Passo 5

Diferencie parcialmente a equação (2) duas vezes em relação a x ,

∂ 2 v x ∂ x 2 = 2 C 3 δ 2 + 6 C 4 δ 3 y v x δ

Substitua 0 por y .

∂ 2 v x ∂ x 2 y = 0 = 2 C 3 δ 2 + 6 C 4 δ 3 × 0 v x δ

∂ 2 v x ∂ x 2 y = 0 = 2 C 3 δ 2 v x δ

Das equações (11) e (12),

C 3 = - δ 2 2 v d v x δ d x … … . 13

Aqui, ν é a viscosidade cinemática.

Passo 6

Resolva as equações (6), (7) e (13).

C 4 = δ 2 4 v d v x δ d x

C 2 = 1 + δ 2 4 v d v x δ d x

Substitua 0 por C 1 , 1 + δ 2 4 v d v x δ d x por C 2 , - δ 2 2 v d v x δ d x para C 3 e δ 2 4 v d v x δ d x para C 4 na equação (2).

v x v x δ = 0 + 1 + δ 2 4 v d v x   e l t a d x y δ + - δ 2 2 v   r a c d v x δ d x y δ 2 + δ 2 4 v d v x δ d x

v x v x s = 1 δ 1 + δ 2 4 v d v x δ d x y + - 1 2 v d v x δ d x y 2 + 1 δ 1 4 v d v x δ d x y 3

Assim, a expressão necessária é,

v x v x δ = 1 δ 1 + δ 2 4 v d v x δ d x y + - 1 2 v d v x δ d x   y 2 + 1 δ 1 4 v d v x δ d x  

Resposta

v x v x δ = 1 δ 1 + δ 2 4 v d v x δ d x y + - 1 2 v d v x δ d x   y 2 + 1 δ 1 4 v d v x δ d x