Enunciado

A energia elétrica deve ser gerada pela instalação de uma turbina gerador-hidráulica em um local 70 m abaixo da superfície livre de um grande reservatório de água que pode fornecer água a uma vazão de 1500 kg/s de forma constante. Se a geração de potência mecânica da turbina é 800 kW c a geração de potência elétrica é 750 kW, determine a eficiência da turbina e a eficiência combinada do gerador-turbina dessa instalação. Despreze as perdas nos tubos.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Bem, inicialmente assumimos que:

1. A elevação do reservatório permanece constante.

2. A energia mecânica da água na saída da turbina é insignificante.

Sabemos que a massa específica da água é: ρ = 1000 k g m 3   e   g = 9,81 m s 2

Do problema, temos que:

W ˙ t u r b - g e r = 750   k W             W ˙ t u r b = 800   k W               z 1 = 70   m             m ˙ = 1500 k g s              

Passo 2

Assumiremos a superfície livre do reservatório no ponto 1 e a saída da turbina no ponto 2.

Agora vamos por partes ok?

Então, tomamos também a saída da turbina como o nível de referência ( z 2 = 0 ) e, portanto, a energia potencial nos pontos 1 e 2 é p e 1 = g z 1 e p e 2 = 0 .

O fluxo a energia P / ρ   em ambos os pontos é zero, uma vez que 1 e 2 estão abertos para a atmosfera ( P 1 = P 2 = P a t m ).

Além disso, a energia cinética em ambos os pontos é zero ( k e 1 = k e 2 = 0 ), uma vez que a água no ponto 1 é essencialmente imóvel e a energia cinética da água em presume-se que a saída da turbina é insignificante.

Agora sim, tendo feito essas análises, podemos encontrar energia potencial da água no ponto 1, que é:

p e 1 = g z 1 = 9,81 ⋅ 70   m           → p e 1 = 0,687 k J k g

Onde p e   é a parcela potencial da energia mecânica.

Então, a taxa na qual a energia mecânica do fluido é fornecida para a turbina se torna:

Δ E ˙ m e c = m ˙ e 1 - e 2 = 1500 k g s 0,687 - 0 k J k g                     →   Δ E ˙ m e c = 1031   k W  

Passo 3

Tendo descoberto a taxa de energia mecânica do fluido, agora podemos encontrar as eficiências do gerador de turbina combinado e da turbina. Por suas definições, temos:

η t u r b - g e r = W ˙ t u r b - g e r Δ E ˙ m e c = 750   k W 1031   k W             → η t u r b - g e r = 72,7 %

E

η t u r b = W ˙ t u r b Δ E ˙ m e c = 800   k W 1031   k W             → η t u r b = 77,6 %

Isso significa que, o reservatório fornece 1031 kW de energia mecânica à turbina, que converte 800 kW dela em trabalho de eixo que aciona o gerador, que gera 750 kW de energia elétrica.

Resposta

Portanto:

η t u r b - g e r = 72,7 %

η t u r b = 77,6 %

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