Enunciado

A equação (10.10) vale para uma onda de perturbação isolada. Para ondas superficiais periódicas de pequena amplitude, de comprimento de onda λ e período T, a teoria não viscosa [8 a 10] prevê uma velocidade de propagação de onda

c 0 2 = g λ 2 π tanh ⁡ 2 π y λ

Em que y é a profundidade da água, e a tensão superficial foi desprezada. (a) Determine se essa expressão é afetada pelo número de Reynolds, pelo número de Froude ou pelo número de Weber. Deduza os valores limite dessa expressão para (b) y ≪ λ e (c) y ≫ λ . (d) Para que razão y / λ a velocidade da onda está dentro de 1% do limite (c)?

Passo 1

Fala aí, galera!!! Bora pra mais um “lerigou” da mecânica dos fluidos? Essa questão vai exigir da gente lembrar muito forte da parte teórica das paradas!

(a) Não há efeitos na teoria para o número de Reynolds ou de Weber, porque a viscosidade e a tensão superficial não estão presente na fórmula. Há um efeito no número de Froude, e podemos reescrever como um número de Froude versus uma profundidade adimensional, se liga!

F r o n d a = c 0 g λ = 1 2 π tanh ⁡ 2 π y λ = f y λ

Passo 2

(b) y ≪ λ :

tanh ⁡ ζ ≈ ζ

Se ζ ≪ 1 : c o ,   o n d a s   l o n g a s 2 = g λ 2 π 2 π y λ = g y

Passo 3

(c) y ≫ λ :

tanh ⁡ ζ ≈ 1

Se ζ ≫ 1 : c o ,   o n d a s   c u r t a s 2 = g λ 2 π

Passo 4

(d) c 0 = 0,99 c 0

Se tanh ⁡ 2 π y λ = 0,995 = tanh ⁡ 3

Ou, temos ainda que y λ = 0,48

Resposta

a   F r o n d a = c 0 g λ = 1 2 π tanh ⁡ 2 π y λ = f y λ

b c o ,   o n d a s   l o n g a s 2 = g y

( c ) c o ,   o n d a s   c u r t a s 2 = g λ 2 π

d   y λ = 0,48

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