O escoamento através do tubo circular é turbulento, e o perfil de velocidade pode ser modelado usando a lei de potência um sétimo de Prandtl, v = V m á x 1 - r R 1 7 . Se ρ é a densidade, mostre que a quantidade de movimento do fluido por unidade de tempo passando pelo tubo é 49 72 π R 2 ρ V m á x 2 . Depois mostre que V m á x = 60 49 V , onde V é a velocidade média do escoamento. Além disso, mostre que a quantidade de movimento por unidade de tempo é 50 49 π R 2 ρ V 2 .

Passo 1

Pessoal, primeiro para entender melhor a questão vamos observar o elemento diferencial de área em formato de anel.

Por aqui passa uma quantidade massa por unidade de tempo que pode ser descrita através da equação:

d m ˙ = ρ V d A

Então o momento por unidade de tempo que passa por esse elemento é:

d L ˙ = d m ˙ V = ρ V d A V = ρ V 2 d A

Assim, para toda a seção transversal nós precisamos integrar essa equação, fazendo:

L ˙ = ∫ A d L ˙ = ∫ A ρ V 2 d A

Onde d A = 2 π r d r . Então,

L ˙ = ∫ 0 R ρ V m á x 1 - r R 1 7 2 2 π r d r

= 2 π ρ V m á x 2 ∫ 0 R r 1 - r R 2 7 d r

Passo 2

Para facilitar nossos cálculos, vamos chamar u = 1 - r R . Então,

r = R 1 - u

d r = - R   d u

Também precisamos mudar os limites de integração, fazendo

r = 0     →     u = 1

r = R   →     u = 0

Substituindo na integral, temos

L ˙ = 2 π ρ V m á x 2 ∫ 1 0 R 1 - u u 1 2 - R d u

= 2 π R 2 ρ V m á x 2 ∫ 1 0 u 9 7 - u 2 7 d u

= 2 π R 2 ρ V m á x 2 7 16 u 16 7 - 7 9 u 9 7   1 0

= 49 72 π R 2 ρ V m á x 2

Que é o que queríamos provar.

Resposta

49 72 π R 2 ρ V m á x 2