Num escoamento sem atrito e incompressível, o campo de velocidade em m / s e a força de campo são dadas por V → = A x i ^ - A y j ^ e g → = - g k ^ , as coordenadas são medidas em metros. A pressão é P 0 no ponto x ,   y ,   z = ( 0 ,   0 ,   0 ) . Obtenha uma expressão para o campo de pressão, P ( x ,   y ,   z ) .

Passo 1

Ficou com dúvida nessa questão? Vem que eu te ajudo.

Ela nos deu um escoamento sem atrito, incompressível e o campo de velocidade e nos pede o campo de pressão. Para encontrar essa expressão para o campo de pressão vamos usar a Equação de Euler para um escoamento incompressível e não viscoso:

ρ D V → D t = ρ g → - ∇ P

→                 ∇ P = ρ g → - D V → D t

A equação de Euler também pode ser escrita na forma:

D V → D t = ∂ V → d t + u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y + w ∂ V → ∂ z

Considerando o fluido incompressível, pelas equações de campo dadas, nós podemos substituir V → = A x i ^ - A y j ^ e g → = - g k ^ na equação de ∇ P , dessa forma:

∇ P =   ρ g → - D V → D t = ρ - g k ^ - u ∂ V → ∂ x - v ∂ V → ∂ y

∇ P = - ρ g k ^ + A x A i ^ - A y ( - A j ^ )

Percebe que nós substituímos as componentes e as derivadas dessa V → = A x i ^ - A y j ^ ? Beleza, agora podemos seguir trabalhando nessa expressão para encontrar o campo de pressão p ( x ,   y ,   z ) .

Passo 2

→                                   ∇ P = - ρ A 2 x i ^ - A 2 y j ^ + g k ^

Escrevendo o ∇ P em suas coordenadas, temos:

i ^ ∂ P ∂ x + j ^ ∂ P ∂ y + k ^ ∂ P ∂ z = - ρ A 2 x i ^ - A 2 y j ^ + g k ^

Então podemos comparar essas coordenadas da igualdade:

∂ P ∂ x = - ρ A 2 x

∂ P ∂ y = - ρ A 2 y

∂ P ∂ z = - ρ g

Passo 3

A expressão diferencial da pressão total, pode ser escrita por:

d P = ∂ P ∂ x d x + ∂ P ∂ y d y + ∂ P ∂ z d z

Substituindo as componentes que encontramos no passo 2:

→           ∂ P ∂ x d x + ∂ P ∂ y d y + ∂ P ∂ z d z = - ρ A 2 x   d x - ρ A 2 y   d y - ρ g   d z

Agora podemos integrar para obter a pressão P ( x ,   y ,   z ) .

Passo 4

Integrando,

P - P 0 = ∫ P 0 P d P = - ∫ 0 x ρ A 2 x d x - ∫ 0 y ρ A 2 y d y - ∫ 0 z ρ g d z

P - P 0 = - ρ A 2 x 2 2 + A 2 y 2 2 + g z

Então,

P = P 0 - ρ A 2 x 2 2 + A 2 y 2 2 + g z

Resposta

P = P 0 - ρ A 2 x 2 2 + A 2 y 2 2 + g z