Um escoamento bidimensional é descrito pela função corrente ψ = x y 3 - x 3 y m 2 / s , onde x e y estão em metros. Mostre que a condição de continuidade é satisfeita e determine se o escoamento é rotacional ou irrotacional.

Passo 1

Pessoal, consideramos o fluido ideal e estacionário. Calculando as componentes da velocidade temos:

u = ∂ ψ ∂ y = ∂ ∂ y x y 3 - x 3 y = 3 x y 2 - x 3   m / s

v = - ∂ ψ ∂ x = ∂ ∂ x x y 3 - x 3 y = - y 3 - 3 x 2 y = ( 3 x 2 y - y 3 )   m / s

Então,

∂ u ∂ x = ∂ ∂ x 3 x y 2 - x 3 = 3 y 2 - 3 x 2   s - 1

∂ v ∂ y = ∂ ∂ y 3 x 2 y - y 3 = 3 x 2 - 3 y 2   s - 1

∂ u ∂ y = ∂ ∂ y 3 x y 2 - x 3 = 6 x y   s - 1

∂ v ∂ x = ∂ ∂ x 3 x 2 y - y 3 = 6 x y   s - 1

Assim, vamos verificar se a equação da continuidade é satisfeita,

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 3 y 2 - 3 x 2 + 3 x 2 - 3 y 2 = 0

O campo de fluxo satisfaz a condição da continuidade, então:

ω z = 1 2 ∂ v ∂ x - ∂ u ∂ y

= 1 2 6 x y - 6 x y = 0

Como ω z = 0 , podemos dizer que o fluido é irrotacional.

Resposta

O   e s c o a m e n t o   é   i r r o t a c i o n a l