Um escoamento é definido por seus componentes de velocidade u = 4 x 2 + 4 y 2 m / s e v = - 8 x y m / s , onde x e y estão em metros. Determine se o escoamento é irrotacional. Qual é a circulação em torno da região retangular?

Passo 1

Pessoal, consideramos o fluido ideal e estacionário de modo que podemos fazer:

∂ v ∂ x = ∂ ∂ x - 8 x y = - 8 y

∂ u ∂ y = ∂ ∂ y 4 x 2 + 4 y 2 = 8 y

Então sua velocidade angular é dada por:

ω z = 1 2 ∂ v ∂ x - ∂ u ∂ y = 1 2 - 8 y - 8 y = - 8 y

Nesse caso, o ω z ≠ 0 , isso significa que o escoamento é rotacional.

Passo 2

Para calcular a circulação em torno da região retangular, vamos definir as componentes de suas velocidades nessa região.

Ao longo do eixo O A na figura do enunciado, y = 0 . Então,

u O A = 4 x 2 + 4 0 2 = 4 x 2 m / s

Ao longo da linha A B , x = 0,3   m . Então,

v A B = - 8 0,3 y = - 2,4 y m / s

Ao longo da linha B C , y = 0,4   m . Então,

u B C = 4 x 2 + 4 0,4 2 = 4 x 2 + 0,64   m / s

E ao longo da linha C O , x = 0 . Então,

v C O = - 8 0 y = 0

Aqui u O A e v A B são direcionadas no sentido positivo de d x e d y , respectivamente. Assim,

∮ u O A d x

e

∮ v A B d y

são positivas. Entretanto,

∮ u B C d x  

e

∮ v C O d y

são negativas, porque u B C e v C O estão direcionadas no sentido negativo de d x e d y , respectivamente. Com essas considerações vamos partir para o próximo passo.

Passo 3

Agora vamos determinar a circulação:

Γ = ∮ V ∙ d s = ∮ u O A d x + ∮ v A B d y - ∮ u B C d x - ∮ v C O d y

Substituindo as funções que encontramos, temos

Γ = ∫ 0 0,3   m 4 x 2 d x + ∫ 0 0,4   m - 2,4 y d y - ∫ 0 0,3   m ( 4 x 2 + 0,64 ) d x - 0

= 4 3 x 3 0 0,3   m - 1,2 y 2 0 0,4   m - 4 3 x 3 + 0,64 x 0 0,3   m

= - 0,384   m 2 / s

Resposta

- 0,384   m 2 / s