O escoamento Q do gás pelo tubo é uma função da densidade ρ do gás, da gravidade g e do diâmetro D do tubo. Determine a relação entre Q e esses parâmetros.

Passo 1

Vamos lá, pessoal! Nós temos n = 4 variáveis e a função desconhecida é f Q ,   ρ ,   g ,   D = 0 . Assim, usando o sistema M - L - T , temos:

Nós temos três bases dimensionais, então m = 3 . Assim,

n - m = 4 - 3 = 1   Π  

Aqui Q , ρ e g são as variáveis de repetição escolhidas como m = 3 e D se tornará a variável q . Então, o termo Π é

Π = Q a ρ b g c D

Π = L 3 a T - a M b L - 3 b L c T - 2 c ( L )

Π = M b L 3 a - 3 b + c + 1 T - a - 2 c

Assim,

M : 0 = b L : 0 = 3 a - 3 b + c + 1 T : 0 = - a - 2 c

Resolvendo, temos a = - 2 / 5 , b = 0 e c = 1 / 5 . Então,

Π = Q - 2 5 ρ 0 g 1 5 D = g 1 5 D Q 2 5

Nossa função pode ser escrita como:

f g 1 5 D Q 2 5 = 0

Então resolvendo Q usando essa função temos

Q 2 5 = k ' g 1 5 D

→   Q = k g D 5

Onde k uma constante a ser determinada experimentalmente. Note que Q não depende de ρ .

Resposta

Q = k g D 5