Em um escoamento incompressível, o volume do fluido é constante. Usando a equação da continuidade, ∇ · v = 0, mostre que a variação de volume de fluido é zero.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Desenhando o diagrama de dois tubos em um escoamento incompressível na Figura 1:

Passo 2

Escreva a fórmula para o volume em qualquer seção do tubo.

V = d x   d y   d z

Aqui, o elemento de volume instantâneo ao longo da direção x é d x , o elemento de volume instantâneo ao longo da direção y é d y e o elemento de volume instantâneo ao longo da direção z é d z .

Escreva a equação de continuidade para o escoamento incompressível.

∇ ⋅ V = 0

∂ ∂ x u + ∂ ∂ y v + ∂ ∂ z w = 0

Aqui, o vetor unitário ao longo do eixo x é u , o vetor unitário ao longo do eixo y é v e o vetor unitário ao longo do eixo z é w .

Escreva a taxa de variação da força do fluxo de água ∂ f ∂ t .

∂ f ∂ t = ∂ ∂ x f u + ∂ ∂ y f v + ∂ ∂ z f w

Aqui, a força do fluxo de água é f .

Passo 3

Multiplique a equação por ( d x   d y   d z   d t ) em ambos os lados. Aqui, a mudança de tempo instantânea é d t .

∂ f ∂ t d x d y d z d t = ∂ ∂ x f u + ∂ ∂ y f v + ∂ ∂ z f w d x d y d z d t

∂ ∂ t f × V d t = ∂ ∂ x f u + ∂   ∂ y f v + ∂ ∂ z f w d x d y d z d t

A força do fluxo de água é constante por toda parte. Portanto, a taxa de variação do fluxo de água é zero.

∂ f ∂ t = 0

\ f r a c { \ p a r t i a l } { \ p a r t i a l   x } ( f u ) + \ f r a c { \ p a r t i a l } { \ p a r t i a l   y } ( f v ) + \ f r a c { \ p a r t i a l } { \ p a r t i a l   z } ( f w ) = 0   \ l d o t s   \   l d o t s   \ t e x t   {   ( 2 )   }

Substitua a equação (2) na equação (1).

∂ ∂ t f × V d t = ∂ ∂ x f u + ∂ ∂ y f v + ∂ ∂ z f w ⏟ = 0 d x d y d z d t

f ∂ V ∂ t d t = 0

Portanto, o valor da mudança no volume do fluido é zero.

Resposta

Demonstração nos passos.