Para um escoamento no plano , a componente da velocidade é dada por . Encontre uma possível componente para o escoamento permanente e incompressível. Ela também é válida para o escoamento incompressível não permanente? Por quê? Quantas são as possíveis componentes ?
Passo 1
Vamos lá!
A questão nos deu a componente da velocidade e pediu que a gente encontrasse uma possível componente para um fluido incompressível.
Para isso nós precisamos ter em mente a equação da continuidade:
Passo 2
Tendo isso em mente, considerando que o nosso fluido é incompressível, ou seja, , e que ele está no plano x-y, nós podemos simplificar a equação da continuidade:
Nós queremos encontrar a componente , então vamos isolar o termo que contém essa componente, passando o para o outro lado:
A questão nos deu a equação da componente , então vamos substituí-la:
Derivando em relação a x:
Encontramos a componente em sua forma diferencial, então vamos integrar dos dois lados.
Passo 3
Integrando
Esta equação básica é válida para o escoamento permanente e não permanente, já que o tempo é não explícito.
Passo 4
Como pode ser qualquer função de , existe um número infinito de soluções e consequentemente de componentes de . O caso mais simples seria em que , então
Resposta
Válida para o escoamento não permanente.
Infinitas soluções.