Para um escoamento no plano x y , a componente x da velocidade é dada por u = x 3 - 3 x y 2 . Encontre uma possível componente y para o escoamento permanente e incompressível. Ela também é válida para o escoamento incompressível não permanente? Por quê? Quantas são as possíveis componentes y ?

Passo 1

Vamos lá!

A questão nos deu a componente x da velocidade e pediu que a gente encontrasse uma possível componente y para um fluido incompressível.

Para isso nós precisamos ter em mente a equação da continuidade:

∂ ρ u ∂ x + ∂ ρ v ∂ y + ∂ ρ w ∂ z + ∂ ρ ∂ t = 0

Passo 2

Tendo isso em mente, considerando que o nosso fluido é incompressível, ou seja, ρ = c o n s t a n t e , e que ele está no plano x-y, nós podemos simplificar a equação da continuidade:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Nós queremos encontrar a componente y , então vamos isolar o termo que contém essa componente, passando o ∂ u / ∂ x para o outro lado:

∂ v ∂ y = - ∂ u ∂ x

A questão nos deu a equação da componente u , então vamos substituí-la:

∂ v ∂ y = - ∂ u ∂ x           →             ∂ v ∂ y = - ∂ ∂ x x 3 - 3 x y 2

Derivando em relação a x:

∂ v ∂ y = - 3 x 2 + 3 y 2

Encontramos a componente y em sua forma diferencial, então vamos integrar dos dois lados.

Passo 3

Integrando ∫ d v = ∫ - 3 x 2 + 3 y 2 d y

→               v x , y = ∫ - 3 x 2 + 3 y 2 d y

v x , y = - 3 x 2 y + y 3 + f ( x )

Esta equação básica é válida para o escoamento permanente e não permanente, já que o tempo t é não explícito.

Passo 4

Como f ( x ) pode ser qualquer função de x , existe um número infinito de soluções e consequentemente de componentes de y . O caso mais simples seria em que f x = 0 , então

v x , y = y 3 - 3 x 2 y

Resposta

v x , y = y 3 - 3 x 2 y

Válida para o escoamento não permanente.

Infinitas soluções.