Estabeleça a lei da viscosidade de Newton usando análise dimensional, observando que a tensão de cisalhamento τ é a função da viscosidade do fluido μ e da deformação angular d u / d y . Dica: considere a função desconhecida como f ( τ ,   μ ,   d u ,   d y ) .

Passo 1

Vamos lá, pessoal! Nós temos n = 4 variáveis e a função desconhecida é f τ ,   μ ,   d u ,   d y = 0 . Além disso, aqui τ tem as mesmas dimensões da pressão p . Assim, usando o sistema M - L - T , temos:

Nós temos três bases dimensionais, então m = 3 . Assim,

n - m = 4 - 3 = 1   Π  

Note que para obter n > m consideramos d u e d y como duas variáveis separadas. Aqui τ e μ são escolhidos como m = 3 variáveis de repetição e d y se tornará a variável q . Então, o termo Π é

Π = τ a μ b d u c d y

Π = M a L - a T - 2 a M b L - b T - b ( L c T - c ) ( L )

Π = M a + b L - a + b - c + 1 T - 2 a - b - c

Assim,

M : 0 = a + b L : 0 = - a - b + c + 1 T : 0 = - 2 a - b - c

Resolvendo, temos a = 1 , b = - 1 e c = - 1 . Então,

Π = τ 1 μ - 1 d u - 1 d y = τ μ d y d u

Nossa função pode ser escrita como:

f τ μ d y d u = 0

Então resolvendo τ usando essa função temos

τ = k μ d u d y

Onde k uma constante a ser determinada experimentalmente.

Resposta

τ = k μ d u d y