Em um experimento para controle de poluição, diminutas partículas sólidas (massa típica 5 × 10 - 11 kg) são abandonadas no ar. A velocidade terminal das partículas medida é de 5cm/s. O arrasto sobre as partículas é dado por F D = k ∙ V , onde V é a velocidade instantânea da partícula. Encontre o valor da constante k. Encontre o tempo necessário para se atingir 99% da velocidade terminal

Passo 1

Fala pessoal!! Tudo certo? Aqui temos mais um problema de mecânica dos fluidos. Bora lá!?

Primeiramente, vamos separar todos os dados disponíveis: m = 5   × 10 - 11   k g V = 5   c m / s

Passo 2

Vamos lá, para esse exercício precisamos entender que a força de arrasto F D e a força gravitacional F G agem na partícula, além disso a velocidade da partícula V é igualitária a velocidade terminal V t quando F D = F G . Portanto, pela 2ª Lei de Newton, podemos definir:

F G = m ∙ g

Entretanto, o enunciado diz para nós a seguinte relação:

  F D = k ∙ V

Quando V = V t   e   F g = F D , temos:

m ∙ g = k ∙ V t

Isolando a variável k, temos:

k =   m ∙ g V t

Passo 3

Uma percepção importante é que a variável V t na versão original do livro corresponde 5   c m / s , porém, o diâmetro da partícula não é apresentado, por isso acreditamos que houve um erro de digitação. Iremos considerar que V t = 5 c m / s .

Mas, para isso precisamos realizar a conversão da partícula para m/s, resultando em:

5 c m s = 5 × 10 - 2 m s

Passo 4

Isolando a variável k e adotando g   =   9,81   m / s 2 , obtemos:

k =   5 × 10 - 11 ∙ 9,81 5 × 10 - 2

k = 9,81 × 10   N ∙ s m

Passo 5

Para encontrar o tempo que a partícula leva para chegar em V = 0,99 V t teremos de considerar uma questão onde F D não é igual ao F g , logo, teremos uma força resultante diferente de zero:

F =   F g - F d

Embora, não conhecemos F, mas considerando a 2ª Lei de Newton podemos dizer:

m ∙ a = m ∙ g - ( k ∙ V )

Agora vem o ponto chave da questão, a aceleração resultante a:

a =   d V d t

Substituindo e organizando a equação, ficaremos com:

m   ∙ d V d t = m ∙ g - ( k ∙ V )

d V d t = g - k ∙ V m

Isolando tudo que tem V, podemos realizar a integração, ok?

d t =   d V g - k ∙ V m

∫ 0 t d t =   ∫ 0 V 1 g - k ∙ V m   d V

Agora realizaremos o cálculo da integração, começando pelo lado esquerdo, depois para o lado direito e aplicando uma substituição simples:

∫ 0 t d t = t

∫ 0 V 1 g - k ∙ V m   d V

u = g - k ∙ V m

d u =   - k m   d v ∴ d V = - m k   d u

∫ - m k ∙ 1 u ∙ d u = - m k   l n   u

Agora, iremos desfazer a nossa substituição e aplicar os limites na integral e por fim, vamos realizar todas as manipulações matemáticas necessárias:

∫ 0 V 1 g - k ∙ V m

- m K l n l n     ( g - k ∙ V m ) | v   e   0  

- m K   g - k ∙ V m - l n l n   g - 0     )

- m K   g - k ∙ V m - l n l n   g     )

- m K   g - k ∙ V m  

m K l n g g - k ∙ V m  

∫ t 0 d t = ∫ 0 V 1 g - k ∙ V m   d V

t = m k l n ( g g - k ∙ V m

Passo 6

Encontramos uma expressão para o tempo, na qual é:

V = 0,99 ∙ V t

V = 0,99 ∙ 5 × 10 - 2

V = 4,95 × 10 - 2   m / s  

Passo 7

Substituindo tudo o que encontramos, chegamos ao nosso resultado final:

t =   5 × 10 - 11 9,81 × 10 - 9 l n 9,81 9,81 - 9,81 × 10 - 9 ∙ 4,95 × 10 - 2 5 × 10 - 11

t = 0,235   s

Essa resolução te ajudou? Responde Aí! Até a próxima, tchaaaau!

Resposta

t = 0,235   s