Em um experimento para controle de poluição, diminutas partículas sólidas (massa típica kg) são abandonadas no ar. A velocidade terminal das partículas medida é de 5cm/s. O arrasto sobre as partículas é dado por , onde V é a velocidade instantânea da partícula. Encontre o valor da constante k. Encontre o tempo necessário para se atingir 99% da velocidade terminal
Passo 1
Fala pessoal!! Tudo certo? Aqui temos mais um problema de mecânica dos fluidos. Bora lá!?
Primeiramente, vamos separar todos os dados disponíveis:
Passo 2
Vamos lá, para esse exercício precisamos entender que a força de arrasto e a força gravitacional agem na partícula, além disso a velocidade da partícula é igualitária a velocidade terminal quando . Portanto, pela 2ª Lei de Newton, podemos definir:
Entretanto, o enunciado diz para nós a seguinte relação:
Quando , temos:
Isolando a variável k, temos:
Passo 3
Uma percepção importante é que a variável na versão original do livro corresponde , porém, o diâmetro da partícula não é apresentado, por isso acreditamos que houve um erro de digitação. Iremos considerar que .
Mas, para isso precisamos realizar a conversão da partícula para m/s, resultando em:
Passo 4
Isolando a variável e adotando , obtemos:
Passo 5
Para encontrar o tempo que a partícula leva para chegar em teremos de considerar uma questão onde não é igual ao , logo, teremos uma força resultante diferente de zero:
Embora, não conhecemos F, mas considerando a 2ª Lei de Newton podemos dizer:
Agora vem o ponto chave da questão, a aceleração resultante a:
Substituindo e organizando a equação, ficaremos com:
Isolando tudo que tem V, podemos realizar a integração, ok?
Agora realizaremos o cálculo da integração, começando pelo lado esquerdo, depois para o lado direito e aplicando uma substituição simples:
Agora, iremos desfazer a nossa substituição e aplicar os limites na integral e por fim, vamos realizar todas as manipulações matemáticas necessárias:
Passo 6
Encontramos uma expressão para o tempo, na qual é:
Passo 7
Substituindo tudo o que encontramos, chegamos ao nosso resultado final:
Essa resolução te ajudou? Responde Aí! Até a próxima, tchaaaau!