Em um experimento com uma lata de refrigerante, ela foi deixada durante 3 horas em um refrigerador a 40   ° F para ser resfriada de 75   ° F para 50   ° F . Em seguida, foi retirada do refrigerador e exposta ao ambiente a 68   ° F . Quanto tempo ela levou para atingir 60   ° F ? Considere que, para ambos os processos, a transferência de calor é modelada por Q ˙ ≈ k ( T - T a m b ) , onde T é a temperatura da lata, T a m b a do ambiente e k é um coeficiente de transferência de calor.

Passo 1

Galera, precisamos encontrar quanto tempo a lata levou para aquecer no ambiente. Para isso, vamos usar a primeira lei da termodinâmica:

m c d T d t = - k ( T - T a m b )

onde m é a massa da lata, c é o calor específico médio da lata e seu conteúdo, T é a temperatura e T a m b é a temperatura ambiente.

d T d t = - k m c ( T - T a m b )

Vamos chamar A = - k m c ,

d T d t = - A ( T - T a m b )

Separando as variáveis:

d T T - T a m b = - A d t

Integrando,

T t = T a m b + T i n i c i a l - T a m b   e - A t  

Onde T i n i c i a l é a temperatura inicial.

Passo 2

Agora podemos usar os dados do resfriamento que o enunciado nos deu, para encontrar um valor para a constante A .

Para o resfriamento,

T i n i c i a l = 75   ° F = 298   K

T a m b = 40   °   F = 278   K

T = 50   ° F = 283   K

Assim,

A = 1 t ln ⁡ T i n i c i a l - T a m b T - T a m b = 1 3 h × 1 h 3600 s × ln ⁡ 298 - 278 283 - 278

A = 1,284 ∙ 10 - 4 s - 1

Passo 3

Para o aquecimento,

T i n i c i a l = 50   ° F = 283   K

T f i n a l = 60   ° F = 288   K

T a m b = 68   ° F = 293   K

Como encontramos no passo 1:

T f i n a l = T a m b + T i n i c i a l - T a m b e - A t

Assim,

t = 1 A ln ⁡ T i n i c i a l - T a m b T - T a m b = s 1,284 ∙ 10 - 4 ln ⁡ 283 - 293 288 - 293

t = 5,4 ∙ 10 3   s = 1,5   h

Resposta

1,5   h o r a s