Expresse a equação (8-9) em termos da vazão e do diâmetro do tubo. Se o diâmetro do tubo for dobrado a uma queda de pressão constante, qual a variação percentual que ocorrerá na vazão?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Determinando a porcentagem de mudança na taxa de fluxo quando o diâmetro do tubo é dobrado com pressão constante:

De acordo com a Equação de Hagen-Poiseuille

- d P d x = 32 μ v m e d D 2

Aqui, temos que:

1. gradiente de pressão, d P / d x

2. viscosidade do fluido, μ

3. velocidade média do escoamento, v m e d

4. diâmetro do tubo, D

5. área do tubo, A = π 4 D 4

Passo 2

A taxa de velocidade do fluxo ( V ˙ ) é dada por

V ˙ = A ⋅ v m e d

→ v m e d = V ˙ A = V ˙ π D 2 4 = 4 V ˙ π D 2

Substituindo na primeira equação

- d P d x = 32 μ D 2 4 V ˙ π D 2 = 128 μ V ˙ π D 4

E temos que

V ˙ = - d P d x π 128 μ D 4 = C D 4

Aqui, C é uma constante

C = - d P d x π 128 μ

Passo 3

Calculando a nova taxa de fluxo ( V ' ˙ ) quando o diâmetro é dobrado e permanecendo as mesmas condições

Substituindo D = 2 D

V ' ˙ = C 2 D 4 = 16 C D 4

Passo 4

Calculando a porcentagem do fluxo ( δ V ˙ )

A porcentagem de mudança no escoamento

δ V ˙ = V ' ˙ - V ˙ V ˙ ⋅ 100

Substituindo V ˙ = C D 4 e V ' ˙ = C D 4

δ V ˙ = 16 C D 4 - C D 4 C D 4 ⋅ 100 = 15   C D 4 C D 4 ⋅ 100

∴ δ V ˙ = 1500 %

Resposta

δ V ˙ = 1500 %