A extremidade aberta de um tanque cilíndrico de 2 ft de diâmetro e 3 ft de altura está submersa em água, conforme mostrado. Se o tanque pesa 250 lb, até que profundidade h o tanque irá submergir? A pressão barométrica do ar é 14,7 psia. A espessura da parede do tanque pode ser desprezada. Que força adicional é requerida para igualar o topo do tanque com a superfície da água?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Desenhando o tanque cilíndrico submergido:

Passo 2

Calculando a área do tanque:

A = π ⋅ d 2 4

Aqui, o diâmetro do cilindro é d .

Substituindo 2   f t para d na equação:

A = π ⋅ 2 2 4 = π   f t 2

Passo 3

Escrevendo a expressão para a pressão total no nível da água dentro do tanque cilíndrico submergido

P = P A + ρ a g h - y

Aqui, a pressão atmosférica do ar é P A , a densidade da água é ρ a , a aceleração da gravidade é g e a altura onde o tanque está submerso na água é h .

O peso do tanque é

W 1 = 250   l b

O peso da água deslocada é

W 2 = A ρ a g h - y

Passo 4

Considerando o princípio de Arquimedes, o peso do tanque cilíndrico deve ser igual ao peso da água deslocada

W 1 = W 2

→ 250 = A ρ a g h - y

Substituindo valores na equação:

250 = π   f t 2 1 ⋅ 94   s l u g / f t 3 32 ⋅ 17   f t / s 2

→ h - y = 1,2752   f t

Passo 5

Substituindo o valor encontrado para h - y na equação obtida no começo do Passo 3:

P = P A + ρ a g ⋅ 1,2752 = P A + 62,4 ⋅ 1,2752 = P A + 79,57

Para compressão isotérmica do ar:

P A V t a n q u e = P V a r

→ P A A H = P A 3 - y

Aqui, o volume inicial do tanque é V t a n q u e , volume do ar no tanque depois dele submerso na água é V a r , o peso total do cilindro é H

Substituindo os dados que temos

P A π 3 = P A + 79,57 π 3 - y

→ P A 3 = P A + 79,57 3 - y

Substituindo 14,7   l b i n 2 144   i n 2 1   f t 2 para P A

14,7 ⋅ 144 3 = 14,7 ⋅ 144 + 79,57 3 - y

→ y = 0,1086   f t

Substituindo o valor de y na equação obtida no Passo 4

h - 0,1086 = 1,2752

∴ h = 1,3838   f t

Passo 6

Desenhando o diagrama mostrando o topo do tanque cilíndrico tocando o nível da água depois da aplicação da força F

Escrevendo a expressão para a pressão total no nível da água dentro do cilindro totalmente submerso:

P = P A + 250 + F A

Expressando a equação da pressão do lado da água:

P = P a + ρ a g 3 - y

Das duas equações, temos:

P A + 250 + F A = P A + ρ a g 3 - y

→ F = ρ a g 3 - y A - 250

Passo 7

Calculando o valor de y da relação da compressão isotérmica do ar

P A V t a n q u e = P V a r

→ P A A H = P A + ρ a g 3 - y A 3 - y

→ P A H = 3 P A - y P A + ρ a g 3 - y 2

→ 14,7 ⋅ 144 ⋅ 3 = 3 14,7 ⋅ 144 - y 14,7 ⋅ 144 + 62,4 9 + y 2 - 6 y

→ 62,4 y 2 - 2491,2 y + 561,6 = 0

∴ y = { 0,226 ;   39,69 } f t

Substituindo na equação obtida no final do Passo 6

F = ρ g 3 - y A - 250 = 62,4 3 - 0,226 π - 250

∴ F = 293,8   l b

Resposta

h = 1,3838   f t

F = 293,8   l b