Enunciado

Um fazendeiro compra 675   k g de grãos, a granel, da cooperativa local. Os grãos são despejados na sua caminhonete através de um alimentador afunilado com um diâmetro de saída de 0,3   m . O operador do alimentador determina a carga a pagar observando a variação como o tempo do peso bruto da caminhonete indicado na balança. O fluxo de grãos de alimentador ( m ˙ = 40   k g / s ) é interrompido, quando a leitura da balança atinge o peso bruto desejado. Se a massa específica dos grãos é 600   k g / m 3 , determine a verdadeira cagar a pagar.

Passo 1

Fala aí! Belezinha? Nosso enunciado está pedindo pra gente encontrar o valor verdadeiro de carga que o fazendeiro terá que pagar, ou seja, a quantidade, em massa, que ele vai transportar em seu caminhão, beleza?

Para isso ele nos forneceu alguns dados:

  • Quantidade de grãos que ele comprou: 675   k g
  • Diâmetro do funil: 0,3   m
  • Fluxo de grãos: m ˙ = 40   k g / s
  • Massa específica dos grãos: ρ = 600   k g / m 3

Antes de começar nosso exercício, vamos fazer algumas considerações Iniciais:

  1. Escoamento em estado estacionário;
  2. Escoamento com velocidade constante;
  3. Escoamento uniforme.

Passo 2

Com as considerações feitas, para encontrar a massa verdadeira de grãos, podemos utilizar a equação da quantidade de movimento, onde:

F = F S + F B = ∂ ∂ t ∫ V C V ρ   d ∀ + ∫ S C V ( ρ V ) d A

Como estamos analisando um sistema y , temos:

F S y + F B y = ∂ ∂ t ∫ V C v ρ   d ∀ + ∫ S C v ( ρ V ) d A

Não temos a variação das propriedades com o tempo, por isso que estamos considerando um escoamento em estado estacionário, logo:

∂ ∂ t = 0

Assim:

F S y + F B y = ∫ S C v ( ρ V ) d A

Passo 3

Sendo F S y = R y e F B y = - m g e m = m 1 + m 2 , podemos substituir isso tudo na equação anterior, ficaremos com:

R y - m 1 + m 2 g = v 1 - ρ V A

Logo:

R y - m 1 + m 2 g = v 1 ( - m ˙ )

E com v 1 =   - V =   - m ˙ ρ A , ficamos com:

R y - m 1 + m 2 g = m ˙ 2 ρ A

Dividindo todo mundo por g e reorganizando a equação, temos:

R y g - m 1 = m ˙ 2 ρ g A + m 2

Passo 4

Substituindo os dados do enunciado na nossa equação, ficamos com:

R y g - m 1 = m ˙ 2 ρ g A + m 2 = 4 m ˙ 2 ρ g π D 2 + m 2

Ficamos então com:

675 = 4 ⋅ 40 2 600 ⋅ 9,8 ⋅ π ⋅ 0,3 2 + m 2

Opa! Então a verdadeira carga, será de:

m 2 = 671   k g

Prontinho!

Resposta

m 2 = 671   k g

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