Em uma festa surpresa para um amigo, você amarrou uma série de balões de hélio de 20 cm de diâmetro a um mastro, cada um amarrado com uma corda curta. O primeiro é amarrado a 1" "m acima do solo, e o outro é amarrado em espaçamentos de 1m, de modo que o último é amarrado a uma altura de 9" "m. Sendo um engenheiro bastante nerd, você percebe que no vento constante, o balão de cache é soprado pelo vento, então parece que os ângulos que as cordas fazem com a vertical são cerca de 10 ∘ , 20 ∘ , 30 ∘ , 35 ∘ , 40 ∘ , 45 ∘ , 50 ∘ , 60 ∘ , e 65 ∘ . Estime e plote o perfil de velocidade do vento para a faixa de 9 m. Suponha que o hélio esteja a 20∘ C e 10kPa e que cada balão seja feito de 3g de látex.

Passo 1

E aí gurizada tudo belezinha? O enunciado pede que a gente . Estime e plote o perfil de velocidade do vento para a faixa de 9 m. Suponha que o hélio esteja a 20∘ C e 10kPa e que cada balão seja feito de 3g de látex.

Dado: Série de balões de festa

Encontrar: Perfil de velocidade do vento; Enredo

Equações básicas C D = F D 1 2 ⋅ ρ ⋅ v 2 ⋅ A F B = ρ air  ⋅ g ⋅ V o l Σ F → = 0

Esse problema é ideal para computação e plotagem no Excel, mas vamos detalhar aqui.

A figura acima se aplica a cada balão

Para forças horizontais F D - T ⋅ s i n ⁡ ( θ ) = 0 (1)

Para forças horizontais - T ⋅ c o s ⁡ ( θ ) + F Bnet  - W latex  = 0 (2)

Em que F Bnet  = F B - W = ρ air  - ρ H e ⋅ g ⋅ π ⋅ D 3 6

D = 20 ⋅ c m M latex  = 3 ⋅ g m W latex  = M latex'  g W latex  = 0.02942 ⋅ N

Passo 2

Nós temos (tabela A.6) R H e = 2077 ⋅ N ⋅ m k g ⋅ K P H e = 111 ⋅ k P a T H e = 293 ⋅ K

P H e = P H e R H e ⋅ T H e

R air  = 287 ⋅ N ⋅ m k g ⋅ K p a i r = 101 ⋅ k P a T air  = 293 ⋅ K ρ air  = P air  R air  ⋅ T air 

ρ air  = 1.201 ⋅ k g m 3

F B n e t = ρ a i r - ρ H e ⋅ g ⋅ π ⋅ D 3 6 F Bnet  = 0.0418 ⋅ N

Aplicando as Eqs 1 e 2 ao balão superior, para o qual θ = 65 ⋅ d e g

F D = T ⋅ s i n ⁡ ( θ ) = F Bnet  - W latex  c o s ⁡ ( θ ) ⋅ s i n ⁡ ( θ )

Em que F D = F B n e t - W l a t e x - t a n ⁡ ( θ ) F D = 0.0266 N  

Mas nós temos F D = C D 1 2 ⋅ ρ a i r ⋅ V 2 ⋅ A = C D 1 2 ⋅ ρ a i r ⋅ V 2 ⋅ π ⋅ D 2 4 com C D = 0.4

da Fig. 9.11 (vamos verificar Re mais tarde)

V = 8 ⋅ F D C D ⋅ ρ a i r ⋅ π ⋅ D 2 V = 1.88 ⋅ m s

Passo 3

Da tabela A.9 v = 1.50 × 10 - 5 , m 2 s

O número de Reynalds é R e d = V + D v R e d = 2.51 × 10 4 está ok

Para o próximo balão θ = 60 - d e g F D = F Bnet  - W latex  ⋅ t a n ⁡ ( θ )

F D = 0.0215 ⋅ N com C D = 0.4

V = 8 ⋅ F D C D ⋅ ρ a i r ⋅ π ⋅ D 2 V = 1.69 m s

O número de Reynalds é R e d = V ⋅ D v R e d = 2.25 × 10 4 está ok

Passo 4

Para o próximo balão θ = 50 . ° F D = F Bnet  - W latex  ⋅ t a n ⁡ ( θ )

F D = 0.01481 N com C D = 0.4

V = 8 ⋅ F D C D ⋅ ρ air  ⋅ π ⋅ D 2 V = 1.40 m s

O número de Reynalds é R e d = V ⋅ D v R e d = 1.87 × 10 4 está ok

Passo 5

Para o próximo balão θ = 45 . ° F D = F Bnet  - W latex  ⋅ t a n ⁡ ( θ )

F D = 0.01234 N com C D = 0.4

V = 8 ⋅ F D C D ⋅ ρ air  ⋅ π ⋅ D 2 V = 1.28 m s

O número de Reynalds é R e d = V ⋅ D v R e d = 1.71 × 10 4 está ok

Passo 6

Para o próximo balão θ = 40 . d e g F D = F Bnet  - W latex  ⋅ t a n ⁡ ( θ )

F D = 0.01043 N com C D = 0.4

V = 8 ⋅ F D C D ⋅ ρ air  ⋅ π ⋅ D 2 V = 1.18 m s

O número de Reynalds é R e d = V ⋅ D v R e d = 1.57 × 10 4 está ok

Passo 7

Para o próximo balão θ = 35 ° F D = F Bnet  - W latex  ⋅ t a n ⁡ ( θ )

F D = 0.00870 N com C D = 0.4

V = 8 ⋅ F D C D ⋅ ρ air  ⋅ π ⋅ D 2 V = 1.07 m s

O número de Reynalds é R e d = V ⋅ D v R e d = 1.43 × 10 4 está ok

Passo 8

Para o próximo balão θ = 30 ° F D = F Bnet  - W latex  ⋅ t a n ⁡ ( θ )

F D = 0.00717 N com C D = 0.4

V = 8 ⋅ F D C D ⋅ ρ air  ⋅ π ⋅ D 2 V = 0.97 m s

O número de Reynalds é R e d = V ⋅ D v R e d = 1.30 × 10 4 está ok

Passo 9

Para o próximo balão θ = 20 ° F D = F Bnet  - W latex  ⋅ t a n ⁡ ( θ )

F D = 0.00452 N com C D = 0.4

V = 8 ⋅ F D C D ⋅ ρ air  ⋅ π ⋅ D 2 V = 0.77 m s

O número de Reynalds é R e d = V ⋅ D v R e d = 1.03 × 10 4 está ok

Passo 10

Para o próximo balão θ = 10 ° F D = F Bnet  - W latex  ⋅ t a n ⁡ ( θ )

F D = 0.002191 N com C D = 0.4

V = 8 ⋅ F D C D ⋅ ρ air  ⋅ π ⋅ D 2 V = 0.54 m s

O número de Reynalds é R e d = V ⋅ D v R e d = 7184.21 está ok

Passo 11

Isso não parece ser um perfil para a porção mais baixa de uma camada limite atmosférica - sobre cidades ou terrenos acidentados, a camada limite atmosférica é normalmente de 300 a 400 metros, portanto, um perfil quase linear em uma pequena fração dessa distância não está fora da pergunta,

Resposta

V = 0.54         0.77         0.97         1.07         1.18         1.28         1.40         1.69         1.88 ⋅ m s

h = 1         2         3         4         5         6         7         8         9 ⋅ m