Os filmes de água e óleo possuem a mesma espessura a e estão sujeitos ao movimento da placa superior. Desenhe o perfil de velocidade e a distribuição da tensão de cisalhamento para cada fluido. Não existe gradiente de pressão entre A e B . As viscosidades da água e do óleo são μ a e μ o , respectivamente.

Passo 1

Vamos lá, pessoal! Primeiro vamos supor que o fluxo laminar constante ocorre dentro das camadas de água e óleo, e que os dois sejam incompressíveis. Como o fluxo é horizontal e não há gradiente de pressão d d x P + γ h = 0 .

Para a camada de água,

τ a = C 1

u a = C 1 μ a y + C 2

Aplicando as condições de contorno em y = 0 , u a = 0 , e em y = a , u a = U ' . Substituindo na equação de cima, temos

0 = C 1 μ a 0 + C 2

C 2 = 0

E

U ' = C 1 μ a ( a )

Passo 2

Para a camada de óleo,

τ o = C 3

u o = C 3 μ o y + C 4

Na interface água e óleo y = a , τ a = τ o . Assim, C 1 = C 3 . Além disso, u a = u o = U ' . Então temos,

U ' = C 3 μ o a + C 4

Substituindo U ' do passo 1 na equação de cima, e usando C 1 = C 3 ,

C 3 μ a a = C 3 μ o a + C 4

C 4 = C 3 a 1 μ a - 1 μ o

Passo 3

Vamos agora aplicar as equações de contorno para essas equações. Para o óleo, em y = 2 a , u o = U . Assim,

U = C 3 μ o 2 a + C 4

Substituindo esse resultado na última equação do passo anterior, temos

U = 2 C 3 a μ o + C 3 a 1 μ a - 1 μ o

U = C 3 a μ a + C 3 a μ o = C 3 a μ o + μ a μ a μ o

C 3 = μ a μ o U μ o + μ a a

Substituindo na equação do C 4 :

C 4 = μ a μ o U μ o + μ a 1 μ a - 1 μ o

= μ a μ o U μ o + μ a μ o - μ a μ a μ o

= μ o - μ a μ o + μ a U

Passo 4

Agora que obtemos as constantes, podemos determinar o perfil de velocidade e a distribuição da tensão de cisalhamento. Então,

τ a = τ o = μ a μ o U μ o + μ a a

u a = μ o U μ o + μ a a y

u o = μ a U μ o + μ a a y + μ o - μ a μ o + μ a U

u o = U a μ o + μ a μ a y + a μ o - μ a

Assim, de U ' = C 1 μ a ( a ) , temos

U ' = μ o μ o + μ a U

Passo 5

Plotando a distribuição da tensão de cisalhamento, temos

E para o perfil de velocidade:

Prontinho. Vamos pra próxima! 😉

Resposta

G r á f i c o s