Enunciado

O filtro de admissão de combustível de uma certa máquina é formado por um elemento poroso com forma de tronco de cone. O com 10   L / s . A distribuição de velocidades na face superior é linear com v m á x = 0,3   m / s . Qual é a vazão de combustível que será filtrada pela parede porosa?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão… Ela está pedindo a vazão de combustível que será filtrada pela parede porosa, para isso precisamos lembrar que:

Q e = Q F + Q N F

Ou seja, a vazão de entrada é igual a soma da vazão filtrada pela não filtrada, ok? Como o enunciado já nos deu a vazão de entrada, se a gente encontrar a vazão não filtrada encontraremos o que precisamos!!!

Bom, a vazão da parte não filtrada, pode ser dada por:

Q N F = ∫ A v   .   d A

Passo 2

Para começarmos a resolver a questão, podemos utilizar semelhança de triângulos para encontrarmos o perfil de velocidade, olha só:

Temos uma velocidade máxima que se relaciona com o raio maior, e uma velocidade ( v ) que se relaciona com o raio da parte central da imagem… Olhando a figura podemos dizer que esse raio da parte central seria o raio maior menos o raio menor, portanto, ficamos com:

v m á x R = v R - r

E isolando a velocidade, temos:

v = v m á x R - r R

Lembrando que a variação infinitesimal da área será dada por:

d A = 2 π r   d r

Podemos então, encontrar a vazão da parte não filtrada, substituindo o perfil de velocidade encontrado e a variação de área:

Q N F = ∫ 0 R v m á x R - r R 2 π r d r

Separando as constantes da integral, temos que:

Q N F = 2 π v m á x R ∫ 0 R R r - r 2 d r

Resolvendo, temos que:

Q N F = 2 π v m á x R R r 2 2 - r 3 3 0 R

Fazendo a substituição dos limites, temos:

Q N F = 2 π v m á x R R 3 2 - R 3 3

Aplicando a distributiva:

Q N F = 2 π v m á x R ⋅ R 3 2 - 2 π v m á x R ⋅ R 3 3

Ajustando essa galera aí, teremos:

Q N F = π v m á x R 2 - 2 π v m á x R 2 3

E ficaremos com:

Q N F = π v m á x R 2 3

Passo 3

Precisamos do valor de R , né? E podemos encontrar ele analisando geometricamente o sistema, olha só:

O raio R , será dado pelo raio da parte menor, que será a metade do valor de diâmetro dado, mais o comprimento do tronco de cone vezes a tangente do ângulo que ele forma… ou seja, teremos que:

R = 2,5 + 10   t a n   20 °  

Beleza! Temos então:

R = 6,14   c m

Show! Agora podemos encontrar a vazão não filtrada, substituindo os valores na equação:

Q N F = π ( 0,3 ) 6,14 ⋅ 10 - 2 2 3

Ficamos com uma vazão não filtrada de:

Q N F = 1,2   .   10 - 3   m 3 / s

Ou:

Q N F = 1,2   L / s

Agora sim podemos encontrar a vazão filtrada! Usando a lei de conservação que vimos lá no comecinho, temos que:

Q F = Q e - Q N F

Substituindo os valores:

Q F = 10 - 1,2

A vazão da parte filtrada, será então:

Q F = 8,8   L / s

Resposta

Q F = 8,8   L / s

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