Para um fluido de densidade ρ, em que as partículas sólidas de densidade ρs estão uniformemente dispersas, mostre que, se x for a fração mássica de sólido na mistura, a densidade é dada por

\rho_mistura=\rho_s\rho/\rhox+\rho_s(1-x)

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

O enunciado nos dá a seguinte fórmula:

ρ m i s t u r a = ρ s ρ ρ x + ρ s 1 - x

Onde:

- ρ é a densidade do fluido

- ρ s é a densidade das partículas do sólido

- x é a fração mássica da mistura sólida

Passo 2

A massa das partículas do sólido é definida como

m s = ρ s V s

E a massa do fluido é definida como

m f = ρ V f

Então, a massa e o volume da mistura pode ser

m m i s t u r a = m s + m f

V m i s t u r a = V s + V f

A fração mássica é a massa das partículas do sólido dividido pela soma das massas das partículas sólidas e o fluido é dada por

x = ρ s V s ρ s V s + ρ V f

Passo 3

Algebricamente modificamos a equação dada no passo anterior e temos:

V f V s = 1 - x x ρ s ρ

A densidade da mistura por definição é dada por

ρ m i s t u r a = m m i s t u r a V m i s t u r a

Substituindo os valores da mistura de massa e volume na definição:

ρ m i s t u r a = ρ s V s + ρ V f V s + V f = ρ s + ρ V f / V s 1 + V f / V s

Agora substituindo a equação que a gente obteve no começo desse passo nessa equação da ρ m i s t u r a

ρ m i s t u r a = ρ s + ρ 1 - x x ⋅ ρ s ρ 1 + 1 - x x ρ s ρ = ρ s x + ρ s 1 - x x ρ x + 1 - x ρ s ρ x

∴ ρ m i s t u r a = ρ s ρ ρ x + ρ s 1 - x

Resposta

ρ m i s t u r a = ρ s ρ ρ x + ρ s 1 - x