Enunciado

Gás escoa num tubo que apresenta seção transversal variável. Se a massa específica do gás é uniforme em qualquer seção transversal do duto, mostre que a conservação de massa leva a

d ρ ρ + d V - V - + d A A = 0

Onde ρ é a massa específica do gás, V - é a velocidade média do escoamento e A é a área da seção transversal do tubo.

Passo 1

E aí, galerinha! Simbora pra mais um exercício aí sobre volumes de controle!

Então galera, esse é mais um exercício de conservação!

A gente tá falando em volume de controle e conservação de massa... Considerando o nosso escoamento como incompressível, temos que a vazão vai ser a mesma ao longo de todo o fluxo do líquido...

v a z ã o   [ Q ] :   ( ' ' E u   s o u   i m u t á v e l ,   t á   g a l e r a   ? " )

Considerando assim, o nosso fluxo como unidimensional, temos a seguinte relação como sendo uma constante...

ρ A V - = c t e

Passo 2

E é aí, que tá a nossa chave pra abrir o nosso baú do tesouro... Uma vez que...

ρ A V - = c t e

Então, a derivada disso aí vai ser zero...

d ( ρ A V - ) = 0

Ou seja, usando a regra do produto...

A V - d ρ + ρ V - d A + A ρ d V - = 0

E dividindo essa equação por ρ A V - ...

A V - d ρ + ρ V - d A + A ρ d V - = 0

A V - ρ A V - d ρ + ρ V - ρ A V - d A + A ρ ρ A V - d V - = 0

d ρ ρ + d A A + d V - V - = 0

Obtemos a equação pedida no enunciado! Captou aí!?

Resposta

d ρ ρ + d A A + d V - V - = 0

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