Enunciado

Gases quentes de combustão do forno escoam através de uma chaminé́ de concreto ( k = 1,4 W m ∙ K de seção transversal retangular. A seção da chaminé́ é de 20   c m   × 40   c m , e a espessura da parede é de 10   c m . A temperatura média dos gases quentes na chaminé́ é T i = 280   ° C , e o coeficiente médio de transferência de calor por convecção no interior da chaminé́ é h i = 75 W m 2 ∙ K   . A chaminé́ perde calor a partir da superfície externa para o ar ambiente a T o = 15   ° C por convecção, com coeficiente de transferência de calor de h o = 18 W m 2 ∙ K , e para o céu por radiação. A emissividade da superfície externa da parede é ε = 0,9 , e a temperatura efetiva do céu é estimada em 250   K . Utilizando o método das diferenças finitas com ∆ x = ∆ y = 10   c m e aproveitando da simetria, ( a ) obtenha a formulação de diferenças finitas deste problema para transferência de calor permanente bidimensional, ( b ) determine as temperaturas dos pontos nodais da seção transversal e ( c )   avalie a taxa de perda de calor para seção de 1   m de comprimento da chaminé́.

Dados: σ = 5,67 × 10 - 8 W m 2 ∙ K 4

Passo 1

Do enunciado nós temos que:

l = 0,1   m ; k = 1,4 W m ∙ K ;   h i = 75 W m 2 ∙ K ;   h o = 18 W m 2 ∙ K ;   T i = 280   ° C ;   T o = 15   ° C ;  

T c i r = 250   ° C ;   ε = 0,9 ;   σ = 5,67 × 10 - 8 W m 2 ∙ K 4  

Nesse exercício há a possibilidade simplifica-lo usando sua simetria. Podemos analisar somente um quarto da geometria, onde a rede nodal terá 10 nós igualmente espaçados:

Logo, nenhum calor pode cruzar a linha de simetria sendo tratadas como superfícies isoladas.

Passo 2

Aplicando o balanço de energia em cada ponto nodal temos:

N ó   1 :

h o l 2 T 0 - T 1 + k l 2 T 2 - T 1 l + k l 2 T 5 - T 1 l + ε σ l 2 T c i r 4 - T 1 + 273 4 = 0

N ó   2 :

h o T 0 - T 2 + k l 2 T 1 - T 2 l + k l 2 T 3 - T 2 l + k l T 6 - T 2 l + ε σ l T c i r 4 - T 2 + 273 4 = 0

N ó   3 :

h o T 0 - T 3 + k l 2 T 2 - T 3 l + k l 2 T 4 - T 3 l + k l T 7 - T 3 l + ε σ l T c i r 4 - T 3 + 273 4 = 0

N ó   4 :

h o l T 0 - T 4 + k l 2 T 3 - T 4 l + k l 2 T 8 - T 4 l + ε σ l T c i r 4 - T 4 + 273 4 = 0

N ó   5 :

h i l 2 T i - T 5 + k l 2 T 6 - T 5 l + k l 2 T 1 - T 5 l = 0

N ó   6 :

h i l T i - T 6 + k l 2 T 5 - T 6 l + k l 2 T 7 - T 6 l + k l T 2 - T 6 l = 0

N ó   7 :

h i l T i - T 7 + k l 2 T 6 - T 7 l + k l 2 T 9 - T 7 l + k l T 3 - T 7 l + k l T 8 - T 7 l = 0

N ó   8 :

h o l T o - T 8 + k l 2 T 4 - T 8 l + k l 2 T 10 - T 8 l + k l T 7 - T 8 l + ε σ l T c i r 4 - T 8 + 273 4 = 0

N ó   9 :

h i l 2 T i - T 9 + k l 2 T 7 - T 9 l + k l 2 T 10 - T 9 l = 0

N ó   10 :

h o l 2 T o - T 10 + k l 2 T 8 - T 10 l + k l 2 T 9 - T 10 l + ε σ l T c i r 4 - T 10 + 273 4 = 0

Passo 3

Após a resolução das equações simultaneamente, teremos:

T 1 = 94,5 ° C

T 2 = 93,0 ° C

T 3 = 82,1 ° C

T 4 = 36,1 ° C

T 5 = 250,6 ° C

T 6 = 249,2 ° C

T 7 = 229,7 C

T 8 = 82,3 ° C

T 9 = 261,5 ° C

T 10 = 94,6 ° C

Passo 4

Para determinarmos a taxa de transferência de calor, basta aplicarmos essa equação abaixo, lembrando que temos que multiplicar por 4, pois pegamos apenas um quarto da nossa geometria.

Q ˙ = 4 ∑ Q ˙ ( u m   q u a r t o   d a   g e o m e t r i a ) = 4 ∑ m h i A s u p e r f í c i e ,   m T i - T m

Q ˙ = 4 h i l 2 T i - T 5 + h i l T i - T 6 + h i l T i - T 7 + h i l 2 T i - T 9

Q ˙ = 3153   W

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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