Enunciado

Os ingleses aperfeiçoaram o arco e flecha como arma após o período Medieval. Nas mãos de um arqueiro hábil, a arma era considerada precisa a distâncias de 100 metros ou mais. Considerando que a altitude máxima de uma flecha seja h = 10 m no trajeto para um alvo a 100 m de distância do arqueiro, e desprezando a resistência do ar, estime a velocidade e o ângulo com os quais a flecha deve deixar o arco. Trace os gráficos da velocidade e do ângulo de disparo como funções da altura h.

Passo 1

Fala aí galera, vamos para mais um problema de mecânica dos fluidos. Considerando que a flecha tem velocidade V 0 e faz um ângulo θ 0 com a horizontal. Sabemos que:

V 0 → = V 0 cos ⁡ θ 0 i + s e n θ 0 j

Pela segunda lei de Newton, sabemos que:

∑ F y = m d v d t = - m g

Logo:

V = V 0 - g t

Também temos que:

t t = 2 t 0 → h

Portanto:

V   d v   =   - g   d y

Integrando os dois lados e aplicando os limites:

- V 0 2 2 = - g h

Logo:

h = V 0 2 2 g

Já para o eixo horizontal, temos que:

∑ F x = m d u d t = 0

Logo:

u = u 0 = c t e

Portanto:

R = u 0 t t = 2 u 0 v 0 g

Passo 2

Agora, vamos apenas trabalhar com as equações encontradas no passo 1. Assim, teremos:

V 0 2 = 2 g h → e q   3

u 0 = g R 2 V 0 → u 0 2 = g R 2 8 h

Logo:

V 0 2 = u 0 2 + v 0 2 = g R 2 8 h + 2 g h

Substituindo para acharmos V 0 :

V 0 = 37,7 m / s

Da equação 3, temos

v 0 = 2 g h = V 0 s e n θ 0

Logo:

θ 0 = 21,8 º

Com as expressões abaixo, basta plotar os gráficos:

V 0 2 = u 0 2 + v 0 2 = g R 2 8 h + 2 g h

v 0 = 2 g h = V 0 s e n θ 0

Resposta

V 0 = 37,7 m / s

θ 0 = 21,8 º

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