Enunciado

Na instalação da figura, todas as tubulações são de mesmo diâmetro (D = 138 mm); o registro é ajustado para que a vazão pela seção (1) seja a metade da vazão pela seção (2). Para tal condição, a altura manométrica da bomba vale 8 m e as perdas de carga valem, respectivamente:

H p 0 , e = 1 3 v e 2 2 g ; H p s , 1 = 5 v 1 2 2 g ; H p s , 2 = 1,5 v 2 2 2 g

Desprezando a perda de carga no ‘T’ na saída da bomba, determine sua potência, sendo seu rendimento 48%. ( γ H 2 O = 10 4   N / m 3 ; g = 10   m / s 2 ) .

Passo 1

Conforme dito no enunciado, a vazão na seção 1 é metade da vazão em 2, ou seja:

Q 1 = Q 2 2 → Q 2 = 2 Q 1

Através do desenho, podemos ver que a vazão em 0 é a soma das vazões em 1 e 2, ou seja;

Q 0 = Q 1 + Q 2 = Q 1 + 2 Q 1 → Q 0 = 3 Q 1

Dessa forma, como o diâmetro da tubulação é o mesmo, temos que:

v 2 = 2 v 1

v 0 = 3 v 1

E, pelo desenho, podemos ver também que:

v e = v 0 → v e = 3 v 1

Agora vamos calcular as cargas nos pontos 0, 1 e 2:

H 0 = v 0 2 2 g + p 0 γ + z 0 = 0 + 0 10 4 + 0 → H 0 = 0   m

H 1 = v 1 2 2 g + p 1 γ + z 1 = v 1 2 2 g + 0 10 4 + 7 → H 1 = v 1 2 2 g + 7

H 2 = v 2 2 2 g + p 2 γ + z 2 = v 2 2 2 g + 0 10 4 + 5 → H 2 = v 2 2 2 g + 5

Passo 2

Agora vamos usar o princípio da conservação da energia para o sistema, assim, temos:

γ Q 0 H 0 + γ Q 0 H B = γ Q 1 H 1 + γ Q 2 H 2 + γ Q 0 H p 0 , e + γ Q 1 H p s , 1 + γ Q 2 H p s , 2

Agora vamos substituir os valores conhecidos na equação:

γ 3 Q 1 ( 0 ) + γ 3 Q 1 ( 8 ) = γ Q 1 v 1 2 2 g + 7 + γ 2 Q 1 v 2 2 2 g + 5 + γ 3 Q 1 1 3 v e 2 2 g + γ Q 1 5 v 1 2 2 g + γ 2 Q 1 1,5 v 2 2 2 g

Simplificando a expressão (notando que os termos Q 1 e γ aparecem em todos os termos) temos:

24 = v 1 2 2 g + 7 + 2 v 2 2 2 g + 5 + v e 2 2 g + 5 v 1 2 2 g + 3 v 2 2 2 g

Passo 3

Agora vamos substituir as relações para as velocidades encontradas no passo 1 na última equação do passo 2, dessa forma, temos:

24 = v 1 2 2 g + 7 + 2 v 2 2 2 g + 5 + v e 2 2 g + 5 v 1 2 2 g + 3 v 2 2 2 g

24 = v 1 2 2 g + 7 + 2 2 v 1 2 2 g + 5 + 3 v 1 2 2 g + 5 v 1 2 2 g + 3 2 v 1 2 2 g

Simplificando a expressão, temos:

24 = v 1 2 2 ( 10 ) + 7 + 2 4 v 1 2 2 ( 10 ) + 5 + 9 v 1 2 2 ( 10 ) + 5 v 1 2 2 ( 10 ) + 3 4 v 1 2 2 ( 10 )

24 = v 1 2 20 + 7 + 8 v 1 2 20 + 10 + 9 v 1 2 20 + 5 v 1 2 20 + 12 v 1 2 20

7 = 35 v 1 2 20 → v 1 = 2   m / s

Agora, voltando as relações de velocidade encontradas no passo 1, substituindo esse valor na relação para v e :

v e = 3 v 1 = 3 2 → v 2 = 6   m / s

Agora, calculando a vazão no ponto e :

Q e = v e A e = v e π D e 2 4 = 6 π 0,138 2 4 → Q e = 0,0897   m 3 / s

E, agora, calculando a potência real da bomba, temos:

N B = γ Q e H B η B = 10 4 0,0897 8 0,48 → N B = 14957,1   W

Resposta

N B = 14957,1   W

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