Uma linha hidráulica de 0,635 cm se rompe repentinamente a 8 m de um reservatório com uma pressão manométrica de 207 kPa. Compare as vazões (em metros cúbicos por segundo) para um escoamento laminar e invíscido a partir de uma linha rompida.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

A figura aqui embaixo mostra o reservatório e a linha hidráulica

Aplicando a equação de Bernoulli entre o reservatório e a linha de entrada, temos:

P 1 - P 2 ρ + v 1 2 - v 2 2 2 + g y 1 - y 2 = 0

Aqui, temos:

1. pressão no reservatório no nível da linha hidráulica, P 1

2. pressão na entrada da linha hidráulica, P 2

3. velocidade do fluido no reservatório, v 1

4. velocidade do fluido na entrada da linha, v 2

5. aceleração da gravidade, g

6. diferença no nível do fluido, y 1 - y 2

Podemos considerar algumas coisas:

1. já que o reservatório e a linha hidráulica estão no mesmo nível, y 1 - y 2 = 0

2. o fluido no reservatório está em repouso, v 1 = 0

Então, a equação se torna

P 1 - P 2 ρ + 0 - v 2 2 2 + g 0 = 0

→ P 1 ρ = P 2 ρ + v 2 2 2

Passo 2

Aplicando a equação de Bernoulli entre a entrada e a saída, temos:

P 2 - P 3 ρ + v 2 2 - v 3 2 2 + g y 2 - y 3 - h f = 0

Aqui, temos:

1. pressão na entrada da linha hidráulica, P 2

2. pressão na saída da linha hidráulica, P 3 = P a t m

3. velocidade do fluido na entrada da linha, v 2

4. velocidade do fluido na saída da linha, v 3

5. perda devido à atrito, h f

6. diferença no nível do fluido na entrada e na saída, y 2 - y 3

Podemos considerar algumas coisas:

1. já que ambas estão no mesmo nível, y 2 - y 3 = 0

2. assumindo que a velocidade do fluido na entrada e na saída da linha hidráulica são iguais, v 2 = v 3

Então, a equação se torna

P 2 - P a t m ρ + 0 - 0 2 + g 0 - h f = 0

→ P 2 ρ = P a t m ρ + h f

Passo 3

Para as condições dadas, a pressão manométrica do reservatório pode ser escrita como

P m a n = P 1 - P a t m

Substituindo o valor de P 2 / ρ

P 1 ρ = P 2 ρ + v 2 2 2

→ P 1 ρ = P a t m ρ + h f + v 2 2 2

→ P 1 - P a t m ρ = h f + v 2 2 2

Já que P 1 - P a t m = P m a n

P m a n ρ = h f + v 2 2 2

Passo 4

Assumindo que o fluido é um fluido hidráulico.

Em 60 ° F , da tabela de propriedades físicas de gases e líquidos:

1. Densidade do fluido hidráulico

ρ = 53   l b m / f t 3

Já que 1   l b m / f t 3 = 16,018   k g / m 3

ρ = 53 16,018 k g / m 3 = 849   k g / m 3

2. viscosidade do fluido hidráulico

μ = 0,0111   l b m / f t ⋅ s

Já que 1   l b m / f t ⋅ s = 1,488   P a ⋅ s

μ = 0,0111 1,488 P a ⋅ s = 0,0165   P a ⋅ s

Passo 5

Considerando o caso 1, quando o escoamento através da linha hidráulica é viscoso.

Para um escoamento viscoso, não há atrito entre as diferentes camadas do fluido durante o escoamento.

Então h f = 0

P m a n ρ = 0 + v 2 2 2

→ v 2 2 = 2 P m a n ρ

→ v 2 = 2 P m a n ρ

Substituindo P m a n = 207   k P a e ρ = 849   k g / m 3

v 2 = 2 207   k P a 849   k g / m 3

→ v 2 = 22,08   m / s

Passo 6

Determinando a vazão no escoamento víscido:

Área da linha hidráulica é dada por:

A = π D 2 4 = π 0,635   c m 2 4 = 0,3167 ⋅ 10 - 4   m 2

A taxa de vazão é dada por:

Q 1 = A v 2 = 0,3167 ⋅ 10 - 4   m 2 22,08   m / s

∴ Q 1 = 7 ⋅ 10 - 4   m 3 / s

Passo 7

Considerando o caso 2, quando o escoamento através da linha hidráulica é laminar.

De acordo com a equação de Hagen-Poiseuille, o gradiente de pressão ( Δ P / d x ) é escrito como:

Δ P d x = 32   μ v D 2

Aqui, temos:

1. viscosidade do fluido hidráulico, μ

2. velocidade do fluido, v

3. diâmetro do tubo, D

Para d x = 1   m , o gradiente de pressão pode ser escrito como:

Δ P = 32 μ v D 2

Dividindo ambos os lados por ρ

Δ P ρ = 32 μ v ρ D 2

Passo 8

A perda devido ao atrito é dada por:

h f = Δ P ρ = 32 μ v ρ D 2

Substituindo os valores, na equação obtida no Passo 7:

h f = 32 0,0165   P a ⋅ s v 2 849   k g / m 3 0,635 ⋅ 10 - 2   m 2

→ h f = 15,42   v 2

Passo 9

Substituindo valores na equação obtida no final do Passo 3 para achar o valor de v 2

P m a n ρ = h f + v 2 2 2

→ 207   k P a 849   k g / m 3 = 15,42 v 2 + v 2 2 2

→ v 2 2 + 30,84 v 2 - 487,635 = 0

Resolvendo essa equação, temos:

v 2 = - 30,84 ± 30,84 2 - 4 1 - 487,632 2 1

→ v 2 = 11,51  ou  - 42,35

Velocidade nesse caso não pode ser negativa, então:

v 2 = 11,51   m / s

Passo 10

Determinando a vazão no escoamento laminar:

A taxa de vazão é dada por:

Q L = A v 2 = 0,3167 ⋅ 10 - 4   m 2 11,51   m / s

∴ Q 1 = 3,645 ⋅ 10 - 4   m 3 / s

Passo 11

Determinando a razão da taxa do escoamento víscido que o escoamento laminar é:

R = Q 1 Q L = 7 ⋅ 10 - 4   m 3 / s 3,645 ⋅ 10 - 4   m 3 / s

∴ R = 1,92

Resposta

R = 1,92