Um líquido incompressível, com massa específica igual a 900   k g / m 3   e viscosidades desprezível, escoa em regime permanente através de um tubo horizontal, de diâmetro constante. Em uma seção porosa de comprimento L = 0,3   m , líquido é removido a uma taxa constante por unidade de comprimento, de tal forma que a velocidade uniforme axial do tubo é u x = U ( 1 - x 2 L ) , onde U = 5   m / s . Desenvolva as expressões para a aceleração de uma partícula fluida ao longo da linha de centro da seção porosa e para o gradiente de pressão ao longo dessa linha. Avalie a seção de saída se a pressão na entrada da seção porosa for igual a 35   k P a (manométrica).

Passo 1

Vamos lá! A questão nos deu um escoamento incompressível dentro de um tubo poroso e nos pediu uma expressão para aceleração e para o gradiente de pressão ao longo da linha de centro, beleza?

Vamos usar a expressão simplificada de Euler na direção x para o regime permanente:

a x = u ∂ u ∂ x

Substituindo e derivando a expressão u x = U ( 1 - x 2 L ) na equação acima, temos:

a x =   u ∂ u ∂ x = U ( 1 - x 2 L ) ∙ U - 1 2 L

a x = - U 2 2 L 1 - x 2 L

Encontramos a expressão para a aceleração. Agora vamos encontrar o gradiente de pressão.

Passo 2

Usando a equação de Euler:

∂ P ∂ x = - ρ a x

Substituímos o resultado encontrado no Passo 1:

∂ P ∂ x = ρ U 2 2 L 1 - x 2 L

Integrando a expressão, temos:

P - P 0 = ∫ 0 L ∂ P ∂ x d x

P - P 0 = ρ U 2 2 L ∫ 0 L 1 - x 2 L d x

→             P - P 0 = ρ U 2 2 L x - x 2 4 L 0 L  

Então,

P = P 0 + ρ U 2 2 L 3 L 4

P = P 0 + 3 8 ρ U 2

Encontramos a expressão para o gradiente de pressão.

Passo 3

Agora vamos avaliar a seção de saída quando a pressão na entrada da seção porosa for igual a 35   k P a . Substituímos os valores dados no enunciado:

ρ = 900 k g / m 3                                                     L = 0,3 m                                             U = 5 m / s                                       P 0 = 35 k P a

Encontrando a pressão de saída:

P = P 0 + 3 8 ρ U 2

P = 35 000 + 3 8 900 ∙ 5 2

P = 43,4 k P a

Resposta

a x = - U 2 2 L 1 - x 2 L

P = P 0 + 3 8 ρ U 2

P = 43,4 k P a