Um líquido incompressível com viscosidade desprezível e massa específica igual a 750   k g / m 3 escoa em regime permanente através de um tubo de 10   m de comprimento com seção convergente-divergente, cuja área varia de acordo com a equação

A x = A 0 1 + e - x / a - e - x / 2 a

Onde A 0 = 0,1   m 2 e a = 1 m . Desenvolva uma expressão e trace o gráfico para o gradiente de pressão e para a pressão em função da posição ao longo do tubo, se a velocidade da linha de centro na entrada é 1   m / s e a pressão na entrada é 200   k P a .

Passo 1

Vamos lá! A questão nos deu um escoamento incompressível num tubo com área variável e pediu pra gente expressar a pressão, o gradiente de pressão e plotar. Vamos assumir que o perfil de fluxo permanece inalterado, para que a velocidade da linha central represente a velocidade média e que esse é um escoamento unidirecional.

Usando a equação da continuidade:

Q = V ∙ A

Q = u 0 ∙ A 0 = u ∙ A

Então,

u x = u 0 A 0 A

O enunciado fala que a área é dada por:

A x = A 0 1 + e - x / a - e - x / 2 a

Então, substituindo:

u x = u 0 A 0 1 + e - x a - e - x 2 a

Passo 2

Para o escoamento dado, a equação para aceleração se reduz a:

a x = u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y

Substituindo o valor de u , temos:

a x = u 0 1 + e - x a - e - x 2 a ∂ ∂ x u 0 1 + e - x a - e - x 2 a  

Para resolver essa derivada, vamos fazer uma substituição e chamar:

t = 1 + e - x a - e - x 2 a

d t = - e - x a a + e - x 2 a 2 a d x

Então,

d d x 1 + e - x a - e - x 2 a - 1 = - e - x a a + e - x 2 a 2 a d d t t - 1

= - e - x a a + e - x 2 a 2 a - 1 t 2

Voltando às variáveis originais:

- e - x a a + e - x 2 a 2 a - 1 t 2 = - e - x a a + e - x 2 a 2 a 1 1 + e - x a - e - x 2 a 2

= 2 e - x a - e - x 2 a 2 a 1 + e - x a - e - x 2 a 2        

Jogando na expressão da aceleração:

a x = u 0 1 + e - x a - e - x 2 a ∙ u 0 2 e - x a - e - x 2 a 2 a 1 + e - x a - e - x 2 a 2

Então,

a x = u 0 2 2 e - x a - e - x 2 a 2 a 1 + e - x a - e - x 2 a 2

a x = u 0 2 e - x 2 a 2 e - x 2 a - 1 2 a 1 + e - x a - e - x 2 a 2

Passo 3

Para encontrar o gradiente de pressão vamos usar a equação de Euler:

∂ p ∂ x = - ρ a x - ρ g x

Simplificando e substituindo a expressão da aceleração que encontramos:

∂ p ∂ x = - ρ u 0 2 e - x 2 a 2 e - x 2 a - 1 2 a 1 + e - x a - e - x 2 a 2

Esse é o nosso gradiente de pressão, agora vamos encontrar quanto vale seu diferencial total.

Passo 4

O diferencial total da pressão é dado por:

d p = ∂ p ∂ x d x

Então basta integrarmos a expressão do gradiente de pressão:

p - p 0 = ∫ 0 x ∂ p ∂ x d x = ∫ 0 x - ρ u 0 2 e - x 2 a 2 e - x 2 a - 1 2 a 1 + e - x a - e - x 2 a 2 d x

Percebe que esta é uma integral muito complexa? Então vamos usar a relação:

∂ p ∂ x = - ρ a x = ρ u ∂ u ∂ x = - 1 2 ρ ∂ ∂ x ( u 2 )

Assim,

p - p 0 = ∫ 0 x ∂ p ∂ x d x = - ρ 2 ∫ 0 x ∂ ∂ x u 2 d x

p - p 0 = - ρ 2 u x 2 - u 0 2

Então,

p = p 0 + ρ 2 u 0 2 - u x 2

Substituindo u ( x ) :

p = p 0 + ρ u 0 2 2 1 - 1 1 + e - x a - e - x 2 a 2

Chegamos a nossa expressão para p ( x ) , agora podemos plotar os gráficos com os valores dados no enunciado.

Para o gradiente de pressão:

Resposta

∂ p ∂ x = - ρ u 0 2 e - x 2 a 2 e - x 2 a - 1 2 a 1 + e - x a - e - x 2 a 2

p = p 0 + ρ u 0 2 2 1 - 1 1 + e - x a - e - x 2 a 2