O líquido possui um escoamento laminar entre as duas placas fixas devido a um gradiente de pressão d p d x . Usando o sistema de coordenadas mostrado, determine a distribuição da tensão de cisalhamento dentro do líquido e o perfil de velocidade para o líquido. A viscosidade é μ .

Passo 1

Vamos lá, pessoal! Primeiro vamos considerar que o fluido seja incompressível e o diagrama de corpo livre mostra um elemento diferencial do fluido, de comprimento x , altura d y e largura d z , como mostra a figura:

Aplicando a equação da quantidade do momento ao longo do eixo x temos:

+ → ∑ F x = ∫ C S A ρ ∙ d A ;

p d y d z - p + d p d x d x d y d z + τ + d τ d y d y d x d z - τ d x d z = 0

Dividindo por d x d y d z reduzimos a equação a:

d τ d y = d p d x

Integrando em relação a y ,

τ = d p d x y + C 1

Se o escoamento é considerado laminar, τ = μ d u d y .   E n t ã o ,

μ d u d y = d p d x y + C 1

Integrando novamente em relação a y :

u = 1 2 μ d p d x y 2 + C 1 μ y + C 2

As constantes de integração podem ser avaliadas usando as condições de contorno, u = 0 em y = ± a 2 . Substituindo a 2 ,

0 = 1 2 μ d p d x a 2 2 + C 1 μ a 2 + C 2

0 = a 2 8 μ d p d x + a 2 μ C 1 + C 2

E para - a 2 ,

0 = 1 2 μ d p d x - a 2 2 + C 1 μ - a 2 + C 2

0 = a 2 8 μ d p d x - a 2 μ C 1 + C 2

Passo 2

Resolvendo as últimas equações do passo anterior, temos

C 1 = 0

C 1 = - a 2 8 μ d p d x

Então, a distribuição da tensão de cisalhamento é dada por:

τ = d p d x y

E seu perfil de velocidade será:

u = a 2 8 μ d p d x 4 y a 2 - 1

Prontinho, achamos nossos resultados. Agora vamos pra próxima! 😉

Resposta

τ = d p d x y

u = a 2 8 μ d p d x 4 y a 2 - 1