Enunciado

Para modelar a distribuição de velocidade na seção curva de entrada de um túnel de vento, o raio de curvatura das linhas de corrente é expresso como R = LR0/2y. Em primeira aproximação, considere que a velocidade do ar ao longo de cada linha de corrente é V = 10 m/s. Encontre uma expressão e trace o gráfico da distribuição de pressão de y = 0 até a parede do túnel em y = L/2, se a pressão manométrica na linha de centro for 50 kPa, L = 75 mm e R0 = 0,2 m. Avalie o valor de V para o qual a pressão estática na parede se torna igual a 35 kPa.

Passo 1

Pessoal, no item 6.2 do livro são deduzidas as equações de Euler em coordenadas de linha de corrente, que é o caso desta questão. Para escoamento em regime permanente em um plano horizontal, a equação de Euler normal a uma linha de corrente vale:

1 ρ ∂ p ∂ n = V 2 R  

Onde n é a direção normal.

No momento da entrada, o vetor normal está na direção vertical, então:

1 ρ ∂ p ∂ n = - 1 ρ d p d y   = V 2 R

d p d y   = - ρ V 2 R

Substituindo o valor de R, temos:

d p d y   = - ρ V 2 L R 0 / 2 y

d p d y   = - 2 y ρ V 2 L R 0

Passo 2

Para encontrar a distribuição de pressão, basta integrar a expressão acima:

d p = - 2 y ρ V 2 L R 0 d y

∫ p 0 p d p = - 2 ρ V 2 L R 0 ∫ 0 y y d y

p - p 0 = - ρ V 2 L R 0 y 2

p y = p 0 - ρ V 2 L R 0 y 2

Onde p 0 é a pressão na linha de centro. Para encontrar a pressão na parede do túnel (y=L/2), basta substituir os valores:

L = 0,075 m ;   ρ = 1000 k g m 3 ; R 0 = 0,2 m ; V = 10   m / s

p L / 2 = 50 - 1 10 2 L ( 0,2 ) L 2 2

p L / 2 = 50 - 1 10 2 L ( 0,2 ) L 2 2

p L / 2 = 50 - 9,375

p L / 2 = 40,6   k P a

Passo 3

Considerando a pressão estática da parede igual35 kPa, vamos encontrar a velocidade, isolando na equação anterior:

p L / 2 = p 0 - ρ V 2 L R 0 L 2 2

ρ L V 2 R 0 = p o - p p a r e d e

V 2 = p o - p p a r e d e R 0 ρ L

Substituindo os valores:

V 2 = 50 - 35 0,2 1 ( 0,075 )

V = 12,7   m / s

Resposta

p y = p 0 - ρ V 2 L R 0 y 2

p L / 2 = 40,6   k P a

V = 12,7   m / s

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Explique a diferença entre uma“solução exata”da equação de Navier-Stokes(discutida no Capítulo9) e umasolução aproximada(discutida neste capítulo).
Discuta como aforma adimensionalda equação de Navier-Stokes é útil para obter soluções aproximadas.Dê um exemplo.
Qual é o maior perigo associado com uma solução aproximada da equação de Navier-Stokes?Dê um exemplo diferente dos dados neste capítulo.
Um ventilador de caixa está no chão em uma sala muito grande (Figura P10-2C).Identifique as regiões do campo de escoamento que podem ser aproximadas como estáticas. Identifique as regiões nas quais a
O que é um fio de disparo, e qual é a sua finalidade?