Mostre que a pressão hidrostática p de um fluido incompressível pode ser determinada usando análise dimensional, observando que ela depende da profundidade h no fluido e do fluido específico γ do fluido.

Passo 1

Vamos lá, pessoal! Nós temos n = 3 variáveis e a função desconhecida é f p ,   γ ,   h = 0 . Usando o sistema F - L - T , temos:

Nós temos três bases dimensionais, então m = 2 . Assim,

n - m = 3 - 2 = 1   Π  

Aqui p e γ são escolhidos como m = 2 variáveis de repetição e h se tornará a variável q . Então, o termo Π é

Π = p a γ b h

Π = F a L - 2 a F b L - 3 b ( L )

Π = F a + b L - 2 a - 3 b + 1

Assim,

M : 0 = a + b L : 0 = - 2 a - 3 b + 1

Resolvendo, temos a = - 1 e b = 1 . Então,

Π = p - 1 γ 1 h = γ h p

Nossa função pode ser escrita como:

f γ h p = 0

Então resolvendo F usando essa função temos

p = k γ h

Como queríamos demonstrar, sendo k uma constante a ser determinada experimentalmente.

Resposta

p = k γ h