Mostre que a taxa de deformação axial em um escoamento unidimensional, υx = υx(x), é dada por ∂υx/∂x. Qual é a taxa de variação de volume? Generalize para um elemento tridimensional de fluido e determine a taxa de variação de volume.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Considerando um pequeno elemento de fluido de comprimento Δ x e largura Δ y , na direção x

Desenhando a figura que mostra o elemento e a mudança depois de um tempo Δ t

Passo 2

Para um escoamento unidimensional na direção x , a velocidade do escoamento é dada por

v x = v x x

Taxa de tensão axial = ∂ v x ∂ x

Para o pequeno elemento de fluido

Mudança no comprimento = v x x + Δ x Δ t - v x x Δ t

Então, a tensão axial é dada por

Tensão axial = v x x + Δ x Δ t - v x x Δ t Δ x

Passo 3

A taxa de tensão axial na direção x é dada por

Taxa de tensão axial = v x x + Δ x Δ t - v x x Δ t Δ x Δ t = v x x + Δ x - v x x Δ x

Inserindo o limite Δ x → 0 , a taxa de tensão axial se torna

Taxa de tensão axial = ∂ v x ∂ x

Passo 4

Tendo A com a área do elemento de fluido na direção x

Agora, a taxa de mudança de volume na direção x é dada por

Taxa de mudança no volume = A Δ x ​ t + Δ t - A Δ x ​ t a Δ x Δ t

→ Taxa de mudança no volume = v s x + Δ x - v x x Δ x

Inserindo o limite Δ x → 0 , a taxa de mudança no volume se torna

Taxa de mudança no volume = ∂ v x ∂ x

Para o resultado obtido, podemos deduzir que ambas as taxas de tensão axial e mudança de volume para um elemento tridimensional são dadas por:

∂ v x ∂ x + ∂ v y ∂ y + ∂ v z ∂ z

Resposta

Taxa de mudança no volume = ∂ v x ∂ x

∂ v x ∂ x + ∂ v y ∂ y + ∂ v z ∂ z