Enunciado

A necessidade de oxigênio dos peixes nos aquários geralmente é suprida forçando ar para o fundo do aquário com um compressor. As bolhas de ar proporcionam uma grande área de contato entre a água e o ar, e, quando as bolhas sobem, os gases oxigênio e nitrogênio do ar se dissolvem na água enquanto um pouco de água evapora para dentro das bolhas. Considere um aquário mantido a uma temperatura ambiente de 20 ℃ o tempo todo. As bolhas de ar sobem para a superfície livre de água em 2 s . Supondo que o ar que entra no aquário esta completamente seco e o diâmetro das bolhas de ar é de 4 m m , determine a fração molar do vapor de água no centro da bolha quando sai do aquário. Considere que não há nenhum movimento de fluido na bolha, de modo que o vapor de água se propaga na bolha apenas por difusão.

Passo 1

Dados fornecidos:

Temperatura ambiente: T = 20 ℃ = 293   K

Tempo em que o ar sobe para a superfície livre: t = 2   s

Diâmetro das bolhas de ar: D = 4   m m

Raio das bolhas de ar: r = D 2 = 2   m m = 0,002   m

Propriedades:

Pela Tabela 14-6

Constante de Henry para o oxigênio dissolvido na água a 20 ℃   293   K :

H = 40 , 100   b a r = 4010,0   k P a

Pela Tabela A-9

Pressão de saturação da água a 20 ℃ : P s a t = 2,34   k P a

Pressão ambiente:

P = 1   a t m = 101,325   k P a

Premissas:

1) As bolhas de ar estão inicialmente completamente secas.

2) As bolhas são esféricas e possuem simetria sobre o ponto médio.

3) O ar é fracamente solúvel em água e, portanto, a lei de Henry é aplicável.

4) Os efeitos de convecção na bolha são desprezíveis.

5) A pressão e a temperatura das bolhas de ar permanecem constantes a 1   a t m e 20 ℃ .

6) Tanto o ar quanto o vapor são gases ideais.

Passo 2

Podemos começar calculando a difusividade de massa do vapor de água no ar a 293   K usando a Equação 14-15. Assim temos:

D A B = D H 2 O - a r = 1,87 × 10 - 10 T 2,072 P

Substituindo os temos da equação pelos dados obtidos, temos:

D A B = 1,87 × 10 - 10 293   K 2,072 1   a t m

D A B = 2,42 × 10 - 5   m 2 / s

Passo 3

Temos que este problema é análogo ao problema de condução de calor transiente unidimensional em uma esfera com temperatura superficial especificada e, portanto, pode ser resolvido da mesma forma.

Agora, vamos calcular o número de Fourier da transferência de massa para t = 2   s usando a seguinte expressão:

τ = D A B t r o 2

Substituindo os temos da equação pelos dados obtidos, temos:

τ = 2,42 × 10 - 5   m 2 / s × 2   s 0,002   m 2

τ = 12,1

Passo 4

Observando que o ar na bolha na interface ar-água será saturado, assim, a pressão de vapor na interface pode ser definida da seguinte maneira:

P v ,   i n t e r f a c e = P s a t = 2,34   k P a

Assim, temos que a fração molar de vapor na interface da bolha se torna a seguinte:

y v ,   i n t e r f a c e = P v ,   i n t e r f a c e P

Substituindo os temos da equação pelos dados obtidos, temos:

y v ,   i n t e r f a c e = 2,34   k P a 101,325   k P a

y v ,   i n t e r f a c e = 0,0237

Passo 5

Então a fração molar do vapor de água no centro da bolha em 2 s pode ser determinada a partir da seguinte equação:

y v ,   c e n t r o - y v ,   i n t e r f a c e y v ,   i n i c i a l - y v ,   i n t e r f a c e = A 1 e - λ 1 2 τ

O número Biot ( B i = h r o / k ) , neste caso, é infinito, pois uma concentração superficial especificada corresponde a um coeficiente de transferência de massa infinitamente grande h → ∞   . Então, as duas constantes na equação acima são determinadas na Tabela 4-1 como sendo λ 1 = 3,1416 e A 1 = 2 .

Além disso, y v ,   i n i c i a l = 0 , pois o ar está inicialmente seco. A fração molar do vapor de água no centro da bolha em 2   s é determinada substituindo os dados obtidos na equação acima. Assim temos:

y v ,   c e n t r o - 0,0237 0 - 0,0237 = 2 × e - 3,1416 2 × 12,1

y v ,   c e n t r o - 0,0237 = 0,0237 × 2,73 × 10 - 52

y v ,   c e n t r o = 0,0237 + 6,47 × 10 - 54

y v ,   c e n t r o = 0,0237

Portanto, a fração molar do vapor de água no centro da bolha em 2   s é 0,0237 .

Ou seja, as bolhas de ar ficam saturadas quando saem do aquário.

Resposta

y v ,   c e n t r o = 0,0237

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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →