Enunciado

Neste capítulo, descrevemos o escoamento irrotacional axissimétrico em termos de coordenadas cilíndricas r e z e componentes de velocidade u r e u z . Surge uma descrição altemativa do escoamento axissimétrico se usarmos coordenadas polares esféricas e escolhermoso eixo x como o eixo de simetria. As duas componentes direcionais relevantes são agora r e u e suas componentes de velocidade correspondentes são u r e u θ . Nesse

sistema de coordenadas, a localização radial r é a distância da origem e o ângulo polar θ é o ângulo de inclinação entre o vetor radial e o eixo de simetria rotacional (o eixo x ), conforme está representado na Figura P 10 - 54 ; é mostrada uma fatia definindo o plano r θ . Este é um tipo de escoamento bidimensional porque há somente duas variáveis espaciais independentes, r e θ . Em outras palavras, uma solução dos campos de velocidade e pressão em qualquer plano r θ é suficiente para caracterizar toda a região de escoamento irrotacional axissimétrico. Escreva a equação de Laplace para ϕ em coordenadas polares esféricas, válida em regiões de escoamento irrotacional axissimétrico.(Sugestão: Você pode consultar um livro-texto sobre análise vetorial.)

Passo 1

Oioi, xentê! Nesse problema nós temos a descrição de um escoamento irrotacional em coordenadas cilíndricas e posteriormente a segunda alternativa, usando coordenadas esféricas. Basicamente o que nos é pedido é a equação para essa alternativa. Para isso podemos consultar livros!

A expressão laplaciana para coordenadas esféricas de variáveis r e θ é:

∇ 2 = 1 r 2   ∂ ∂ r r 2 ∂ ∂ r + 1 r 2 sin ⁡ θ ∂ ∂ θ sin ⁡ θ ∂ ∂ θ

Portanto, para escoamento irrotacional axissimétrico bidimensional em r e θ , temos:

1 r 2   ∂ ∂ r r 2 ∂ ϕ ∂ r + 1 r 2 sin ⁡ θ ∂ ∂ θ sin ⁡ θ ∂ ϕ ∂ θ = 0

Prontinho!!

Resposta

1 r 2   ∂ ∂ r r 2 ∂ ϕ ∂ r + 1 r 2 sin ⁡ θ ∂ ∂ θ sin ⁡ θ ∂ ϕ ∂ θ = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

6.4 Um campo de velocidade em um fluido com massa específica de 1000 kg/m³ é dado por V → = - A x + B y t i ^ + A y + B x t j ^ , em que A = 2s - 1 , B = 1m / s 2 , x e y são em metros e t é em segund
6.3 Um escoamento horizontal de água é descrito pelo campo de velocidade V → = - A x + B t i ^ + A y + B t j ^ , em que A = 1s - 1 , B = 2m / s 2 , x e y são em metros e t é em segundos. Encontre expr
6.1 Considere o campo de escoamento com velocidade dada por V → = A y 2 - x 2 - B x i ^ + 2 A x y + B y j ^ em que A = 3,28m - 1 s - 1 , B = 3,28m - 1 s - 1 e as oordenadas são medidas em metros. A ma
6.5 Considere o campo de escoamento com velocidade dada por V → = A x 2 - y 2 - 3 B x i ^ + 2 A x y - 3 B y j ^ , em que A = 3,28s - 1 , B = 1m / s 2 e as coordenadas são medidas em metros. A massa es
6.6 A componente em x da velocidade em um campo de escoamento incompressível é dada poru = A x , em que A = 2s - 1 e as coordenadas são medidas em metros. A pressão no ponto (x,y)=(0,0) é p 0 = 190k P