Enunciado

O nível de água em um grande tanque é mantido na altura H acima do terreno plano em volta. Um bocal bem configurado é instalado na lateral do tanque de modo a produzir um jato de descarga horizontal. Desprezando o atrito, determine a altura h em que o orifício deve ser feito de modo que a água atinja o solo na máxima distância horizontal X a partir do tanque. Trace um gráfico da velocidade do jato V e da distância X como funções de h ( 0 < h < H ) .

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer é ilustrar o problema:

Agora vamos aplicar Bernoulli entre a superfície do tanque (ponto 0) e o ponto de saída do orifício (1), então, temos:

p 0 ρ + v 0 2 2 + g z 0 = p 1 ρ + v 1 2 2 + g z 1

Nesse caso, como a superfície do tanque e a saída do jato (ponto 1) estão expostos ao ambiente, então p 1 = p 2 = p a t m e os termos de pressão se cancelam. Como o tanque possui grandes dimensões e o nível de água é constante, temos v 0 = 0 . Substituindo os valores conhecidos, temos:

g H = V 2 2 + g h → V = 2 g ( H - h )

Agora, para encontrar a distância X percorrida pelo jato de água, podemos usar:

X = V t → X = 2 g ( H - h ) t

Passo 2

A única força que age sobre a água saindo do tanque é a gravidade, de modo que:

∑ F y = m a y

- m g = m a y → a y = - g

No entanto, sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade, então:

a y = d v d t

Então, substituindo a expressão na equação anterior, temos:

d v d t = - g → d v = - g d t

Integrando essa equação dos dois lados, temos:

∫ v 0 v d v = ∫ 0 t - g d t → v - v 0 = - g t

No entanto, sabemos que o jato de água não tem velocidade inicial na direção y , então v 0 = 0 , dessa forma:

v = - g t

Agora, sabemos que a velocidade é a derivada da posição, então:

d y d t = v

Substituindo essa expressão na equação para a velocidade, temos:

d y d t = - g t → d y = - g t d t

Integrando dos dois lados, temos:

∫ y 0 y d y = ∫ 0 t - g t d t → y - y 0 = - g t 2 2

Agora, isolando t dessa equação, temos:

t = 2 y 0 - y g

Passo 3

Sabemos que o tempo em que o jato fica no ar é dado por:

t = 2 y 0 g

E, da figura do passo 1, sabemos que y 0 = h :

t = 2 h g

Substituindo esse valor na equação para X obtida no passo 1, temos:

X = 2 g H - h t = 2 g H - h 2 h g

X = 2 g H - 2 g h 2 h g → X = 2 h ( H - h )

Sendo assim, teremos o maior valor de x quando h ( H - h ) for máximo, então, para encontrar o valor máximo, podemos derivar essa expressão e igualar o resultado a 0, derivando essa expressão, temos:

d d h h H - h 2 = H - 2 h = 0 → h = H 2

Essa é a altura para que o jato atinja a maior distância X .

Passo 4

Agora para desenhar os gráficos, vamos voltar à equação de velocidade do passo 1:

V = 2 g ( H - h ) = 2 g H - 2 g h

Precisamos deixar a equação num formato onde temos somente a relação h / H do outro lado para que possamos avaliar com os dados fornecidos, então dividindo a equação por 2 g H , temos:

V 2 g H = 1 - h H

Plotando o gráfico dessa função para o intervalo 0 < h < H ou, de maneira equivalente, 0 < h / H < 1 , temos:

Passo 5

Agora da equação para a distância X atingida, temos:

X = 2 h ( H - h )

Da mesma forma, dividindo a equação por H , temos:

X H = 2 h H - h H 2 → X H = 2 h H - h 2 H 2 → X H = 2 h H 1 - h H

Plotando o gráfico dessa função para o intervalo 0 < h < H ou, de maneira equivalente, 0 < h / H < 1 , temos:

Resposta

h = H 2

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